2011-江苏卷-09 填-正弦型函数图象定参

本题导读

本题考查正弦型函数的图象与性质，以及振幅、周期、初相的确定。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$（$A$，$\omega$，$\phi$ 是常数，$A>0$，$\omega >0$）的部分图象如图所示，则 $f(0)=$　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由最低点定 $A$
2. 步骤2：由零点与波谷的横坐标差定 $\omega$
3. 步骤3：代入波谷点定 $\phi$

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{6}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由图象知函数的最小值为 $-\sqrt{2}$，又 $A>0$，所以 $A=\sqrt{2}$。

图象在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处下穿零点，相邻波谷在 $x=\frac{7\pi }{12}$ 处，跨越 $\frac{1}{4}$ 个周期：

$\frac{T}{4}=\frac{7\pi }{12}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}$，得 $T=\pi$，由 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 且 $\omega >0$ 得 $\omega =2$。

在 $x=\frac{7\pi }{12}$ 处取最小值 $-\sqrt{2}$，所以 $2\times \frac{7\pi }{12}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），解得 $\phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi$，取 $\phi =\frac{\pi }{3}$。

故 $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$，$f(0)=\sqrt{2}\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由图象求 $A$、$\omega$、$\phi$；正弦型函数的周期与最值点

核心方法：特征点代入法：最值点定 $A$，相邻零点与极值点定周期，代入波谷点（相位 $\frac{3\pi }{2}$）唯一定初相

避坑指南：零点有上穿与下穿之分，直接代入零点解 $\phi$ 会产生增解；代入波谷点 $\omega x+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi$ 可直接锁定初相。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数识图定参题，与 2013 年江苏卷第 1 题（周期性）同族。

结论推广：相邻零点与极值点横坐标之差的绝对值恒为 $\frac{T}{4}=\frac{\pi }{2\omega }$。

方法推广：识图题按 $A\to \omega \to \phi$ 的顺序定参：最值定振幅、相邻特征点定周期、最值点定初相，最后代值计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-01 填-正弦型函数的周期性