本题导读
本题考查空间直线的异面判定、四面体（三棱锥）的几何性质，以及相关运算的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2009年安徽卷(理)） 对于四面体 ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
① 相对棱 与 所在的直线异面；
② 由顶点 作四面体的高，其垂足是 的三条高线的交点；
③ 若分别作 和 的边 上的高，则这两条高所在直线异面；
④ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤ 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.
🔍【思路分析】
破题导航
- 对 ①：根据四面体四个顶点不共面的基本定义判断。
- 对 ②：通过一般不规则四面体进行检验，明确只有特殊四面体（垂心四面体）垂足才为垂心。
- 对 ③：寻找反例。当两侧三角形为等腰三角形时，看两条高的垂足是否重合。
- 对 ④：借助空间向量中点连线的对角线对称性，判定四面体三条中位线（变心线）是否共点且互相平分。
- 对 ⑤：设 为最长棱，利用空间三角形两边之和大于第三边的性质进行叠加放缩判定。
点击查看答案
①④⑤
✍【详细解析】
Abstract
解：逐一针对各个命题进行严密分析：
- 命题 ① 正确：根据四面体的定义， 四个顶点不在同一个平面内。若相对棱 与 共面，则这四个顶点必共面，引发矛盾。故相对棱 与 所在的直线必定异面。
- 命题 ② 错误：只有当四面体为“垂心四面体”（即相对棱两两互相垂直）时，顶点在底面的投影垂足才是底面三角形的垂心。对于一般的斜四面体，该结论不成立。
- 命题 ③ 错误：可以通过构造反例推翻。若在四面体 中满足 且 。此时 和 均为以 为底边的等腰三角形。分别作边 上的高，这两条高的垂足会同时落在线段 的同一中点 处。此时，两条高线 与 相交于点 ，它们属于共面相交直线，并非异面。
- 命题 ④ 正确：四面体中连接三组相对棱中点的线段称为四面体的中位线。由空间几何性质可知，任意两组相对棱中点连线可围成一个空间平行四边形，其对角线互相平分。因此，这三条线段必相交于同一点（即四面体的重心），且在该点处互相平分。
- 命题 ⑤ 正确：不妨设四面体中最长的棱为 。我们来考察端点 引出的另两条棱 以及端点 引出的另两条棱 。 在 中，由三角形三边关系得： ① 在 中，由三角形三边关系得： ② 将①、②两式左右两边分别相加，可得： 根据代数原理，两个括号内的项不可能同时小于或等于 （否则它们相加将 ，与严格大于号矛盾）。 因此， 与 中至少有一个必须成立。 这就证明了最长棱 的两个端点 或 中，必有一个端点引出的另两条棱长之和大于最长棱。
综上所述，正确的命题编号为 ①④⑤。
填空答案：①④⑤
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：空间异面直线的概念与反例构建；四面体重心（中位线交点）的对偶几何性质；三维空间多面体的边长三角不等式放缩。
- 核心方法：特值反例排除法（针对命题③）；整体叠加法（针对命题⑤）。
- 避坑指南：命题③是本题最容易踏入的陷阱，很多学生在脑海中想象图形时，主观认为两侧三角形的高在 上的落点一定是错开的，从而误判为正确。务必养成通过“等腰或等边”的极端对称状态去寻找反例的防错习惯。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：源自教材立体几何综合学能评测大题，侧重考查立体几何公理体系与平面几何度量性质向三维空间外推的严密性。
- 结论推广：命题④中三组相对棱中点连线的交点 满足向量关系 ，该点即为该空间四面体的物理质心。
🔗【关联脉络】
Multi column
知识锚点 (Nodes)
类题演练 (Links)