2009-山东卷文-07 单-分段函数递推

本题导读

考查分段递推。$f(0)=2$，$f(-1)={\log }_{2}5$，$f(3)=-2$ 与 ${\log }_{2}5$ 恰好相消，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\log }_2(4-x),& x⩽0,\\ f(x-1)-f(x-2),& x>0,\end{array}$ 则 $f(3)$ 的值为 ()

A. $-1$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(0)={\log }_{2}4=2$，$f(-1)={\log }_{2}5$。
2. $f(1)=f(0)-f(-1)=2-{\log }_{2}5$。
3. $f(2)=f(1)-f(0)=-{\log }_{2}5$。
4. $f(3)=f(2)-f(1)=-{\log }_{2}5-(2-{\log }_{2}5)=-2$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩽0$ 时 $f(x)={\log }_2(4-x)$，故 $f(0)={\log }_{2}4=2$，$f(-1)={\log }_{2}5$。 当 $x>0$ 时按递推式逐步计算： $f(1)=f(0)-f(-1)=2-{\log }_{2}5$； $f(2)=f(1)-f(0)=(2-{\log }_{2}5)-2=-{\log }_{2}5$； $f(3)=f(2)-f(1)=-{\log }_{2}5-(2-{\log }_{2}5)=-2$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数与递推求值

核心方法：把 $f(3)$ 逐层回推到 $x⩽0$ 段的已知点

避坑指南：$f(0)={\log }_{2}4=2$，$f(-1)={\log }_{2}5$；$f(1)=2-{\log }_{2}5$，$f(2)=-{\log }_{2}5$，$f(3)=-{\log }_{2}5-(2-{\log }_{2}5)=-2$，对数项恰好相消。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推型求值从目标值出发逐层展开，展开到定义给出的”已知段”为止。

结论推广：$f(x-1)-f(x-2)$ 要同时用到前两个值，滚动计算别跳步。

方法推广：结果为整数而过程含无理数时，通常对数项会相消，可借此自检。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-12 填-分段函数方程
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2011-大纲卷文-10 单-奇函数周期求值
• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称