2009-山东卷理-01 单-集合

本题导读

本题考查通过三视图还原空间几何体的直观图并计算其体积。解题的关键是将组合体拆分为圆柱与正四棱锥两部分，并准确根据投影分析出各部分的几何尺寸。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()

A. $\pi +\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　B. $2\pi +\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　C. $\pi +\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　D. $2\pi +\frac{2\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结构还原：

• 下半部分：正（主）视图和侧（左）视图均为矩形，俯视图外圈为圆，说明下半部分是一个圆柱。
• 上半部分：正视图和侧视图均为三角形，俯视图为带对角线的正方形，说明上半部分是一个正四棱锥。

2. 尺寸分析：

• 圆柱：高 $h_1=2$，底面圆直径 $d=2$。
• 正四棱锥：底面正方形内接于圆柱的上底面圆，因此其底面正方形的对角线长为 $2$。正视图中三角形的腰长 $2$ 即为四棱锥的侧棱长。

3. 体积求和：分别计算圆柱体积 $V_1$ 与正四棱锥体积 $V_2$，相加即得几何体总体积。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，该几何体下部为圆柱，上部为正四棱锥。

1. 计算下部圆柱的体积 $V_1$： 由正视图与俯视图可知： 圆柱的底面圆直径 $2r=2⟹r=1$，高 $h_1=2$。 所以圆柱的体积为： $V_1=\pi r^2{h}_1=\pi \times 1^2\times 2=2\pi$

2. 计算上部正四棱锥的体积 $V_2$： 由俯视图可知，正四棱锥的底面是内接于底面圆的正方形， 其对角线长度等于圆的直径，即对角线 $d=2r=2$。 该正方形底面的面积为： $S=\frac{1}{2}\times d^2=\frac{1}{2}\times 2^2=2$ 由正视图可知，正四棱锥的侧棱长 $l=2$。 设正四棱锥的高为 $h_2$。在由“侧棱、高、底面外接圆半径 $r$”组成的直角三角形中： $h_2=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ 因此，正四棱锥的体积为： $V_2=\frac{1}{3}S{h}_2=\frac{1}{3}\times 2\times \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 计算总体积 $V$： $V=V_1+V_2=2\pi +\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原几何体、圆柱与棱锥的体积公式。
2. 核心方法：体积分割法。对复杂的组合体，必须将其准确拆解为基本几何体后再进行独立计算。
3. 避坑指南：

• 底面积极易算错：俯视图中正方形是“内接于圆”的，因此它的对角线长等于圆的直径 $2$，而不是边长等于 $2$。

• 锥体高极易算错：正视图中三角形的侧边代表的是四棱锥的侧棱，而非侧面三角形的斜高（因为投影方向是平行于正方形底面对角线的）。因此求高时，勾股定理中底边应取外接圆半径 $r=1$，而非半边长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查空间直观图的还原，其几何组合模型源自建筑设计中的塔楼或亭台顶部造型。

2. 结论推广：若一正 $n$ 棱锥的底面外接圆半径为 $r$，侧棱长为 $l$，则该棱锥的高 $h=\sqrt{l^2-r^2}$，底面积 $S=\frac{n}{2}{r}^2\sin \frac{2\pi }{n}$，体积公式为： $V=\frac{n}{6}{r}^2\sqrt{l^2-r^2}\sin \frac{2\pi }{n}$ 本题上半部分即为 $n=4,r=1,l=2$ 时的特例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷理-02 填-集合
• 2011-北京卷文-01 单-集合补集区间