2009-广东卷文-04 单-反函数

本题导读

考查反函数。$f(2)={\log }_{a}2=1\Rightarrow a=2$，$f(x)={\log }_{2}x$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 若函数 $y=f(x)$ 是函数 $y=a^x$（$a>0$，且 $a\ne 1$）的反函数，且 $f(2)=1$，则 $f(x)=$ ()

A. ${\log }_{2}x$　　　　　　B. $\frac{1}{2}x$　　　　　　C. ${\log }_{\frac{1}{2}}x$　　　　　　D. $2^{x-2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=a^x$ 的反函数为 $f(x)={\log }_{a}x$。
2. $f(2)={\log }_{a}2=1\Rightarrow a=2$。
3. 故 $f(x)={\log }_{2}x$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=a^x$ 的反函数为 $f(x)={\log }_{a}x$。由 $f(2)=1$，得 ${\log }_{a}2=1$，从而 $a=2$。 因此 $f(x)={\log }_{2}x$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数与对数的反函数

核心方法：$y=a^x\leftrightarrow y={\log }_{a}x$；$f(2)={\log }_{a}2=1$ 定底数

避坑指南：${\log }_{a}2=1⟺a=2$；反函数是 ${\log }_{2}x$，别与 ${\log }_{\frac{1}{2}}x$ 混（底数互倒时单调性反向）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数式与对数式互化：$a^b=N⟺{\log }_{a}N=b$。

结论推广：用 $f(2)=1$ 的几何意义：点 $(2,1)$ 在反函数图象上，即 $(1,2)$ 在原函数图象上。

方法推广：B 选项 $\frac{1}{2}x$ 是线性函数，与对数函数图象类型不同，直接排除。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-大纲卷II文-02 单-反函数求法
• 2009-湖北卷文-02 单-反函数
• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值