2009-江西卷文-10 单-比赛相遇概率

本题导读

考查概率。三组等可能分法中甲乙同组概率 $\frac{1}{3}$（必相遇），异组概率 $\frac{2}{3}$ 且需 $4$ 场胜者相遇，总概率 $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 甲、乙、丙、丁 $4$ 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 $4$ 个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛.则甲、乙相遇的概率为 ()

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 四队分成两组（每组两队）的等可能分法共 $3$ 种：甲乙|丙丁、甲丙|乙丁、甲丁|乙丙。
2. 甲乙同组（概率 $\frac{1}{3}$）：第一轮直接相遇。
3. 甲乙异组（概率 $\frac{2}{3}$）：须各自获胜（概率 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$）后在决赛相遇。
4. 总概率 $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

将四个队分成两组（每组两队），等可能的分法共 ${\mathrm{C}}_4^2/2=3$ 种，其中甲、乙同组的有 $1$ 种，概率为 $\frac{1}{3}$。 若甲、乙同组，则第一轮就直接相遇； 若甲、乙不同组（概率 $\frac{2}{3}$），则须甲、乙在第一轮各自获胜（概率 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$），才能在决赛中相遇。 故所求概率为 $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与比赛分组

核心方法：列举分组 + 分类”同组/异组”

避坑指南：同组概率 $\frac{1}{3}$ 必相遇；异组概率 $\frac{2}{3}$ 须双双获胜 $\frac{1}{4}$；总数 $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$。别漏”同组第一轮就相遇”这一类。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：淘汰赛相遇问题先画对阵树，再按轮次分类。

结论推广：${\mathrm{C}}_4^2/2=3$ 种等可能分法是计数的基准。

方法推广：每场等可能获胜即 $\frac{1}{2}$，连乘得联合概率。

🔗【关联脉络】

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