2009-浙江卷理-07 单-三角

本题导读

本题结合向量的模与数量积考查直角三角形的性质，并通过几何形态分析，求解直线（三角形的三边）与已知圆的最大公共点个数。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 设向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足：$|\mathbf{a}|=3,|\mathbf{b}|=4,\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$.以 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

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1. 依据 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 得知两向量垂直，从而计算出 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$，确定该三角形为直角边长为 3 和 4、斜边长为 5 的直角三角形。

2. 三角形每条边（线段）与圆最多有 2 个公共点，三条边理论上最多有 6 个公共点。

3. 建立坐标系，分析圆心在何处时能使圆与三角形各边的距离小于半径 1。通过计算直角三角形内切圆半径为 1 的这一临界特征，推导最大交点数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 可知 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$。 边长分别为：$|\mathbf{a}|=3$, $|\mathbf{b}|=4$, $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。 该三角形为直角三角形，其内切圆半径 $r=\frac{3+4-5}{2}=1$。 当圆恰好为该直角三角形的内切圆时，圆与三角形三条边各有一个切点，此时公共点个数为 3。 若移动该圆： 设直角顶点为原点 $O(0,0)$，两条直角边在坐标轴上，对应直线分别为 $x=0,y=0$，斜边直线为 $4x+3y-12=0$。 要使圆与某条边有两个公共点，圆心到该边的距离 $d$ 必须严格小于半径 1。 若圆与两条直角边都相交 2 次，要求圆心坐标 $(x_0,y_0)$ 满足 $x_0<1$ 且 $y_0<1$。 此时圆心到斜边的距离为： $d=\frac{|4x_0+3y_0-12|}{5}=\frac{12-(4x_0+3y_0)}{5}$ 因为 $x_0<1,y_0<1$，所以 $4x_0+3y_0<7$，进而 $-(4x_0+3y_0)>-7$。 代入得： $d>\frac{12-7}{5}=1$ 即当圆与两条直角边均各有两个交点时，圆心到斜边的距离必然大于 1，此时圆与斜边无公共点。 同理可证，圆不可能同时与三条边都产生 2 个交点，亦无法满足两条边交 2 次且另一边相切（相切要求 $d=1$，此时要求 $4x_0+3y_0=7$，在 $x_0<1,y_0<1$ 下无解）。 因此，最多只能有两条边与圆各有两个交点，最大公共点个数为 $2+2+0=4$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角三角形的内切圆半径性质、点到直线的距离公式应用。

2. 核心方法：解析坐标法。将几何分布问题代数化，利用不等式组判定交点的存在性。

3. 避坑指南：容易盲目认为每条边都能与圆交 2 次而错选 6，或者误以为内切时的 3 是最大值。必须通过内切圆半径刚好等于 1 这一巧合，通过微调圆心位置来进行定量的范围边界排查。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由初中平面几何中直角三角形内切圆半径公式 $r=\frac{a+b-c}{2}$ 衍生而来，引入圆的动态平移变换，具有很强的数形结合特征。

2. 结论推广: 对于内切圆半径为 $r$ 的三角形，半径为 $R$ 的圆与其边的公共点个数：当 $R>r$ 时，通过将圆心置于内中心附近，可实现与三边均交 2 次（共 6 个点）；当 $R=r$ 时，由于边界极值限制，最多只能与两边各交 2 次（共 4 个点）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-15 解-向量与解三角形
• 2013-陕西卷文-18 解-向量与三角最值
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程