2009-湖南卷文-06 单-共面棱条数

本题导读

考查共面判定。两组各 $8$ 条，交集 $\{BC,CD,C_1{D}_1,A{A}_1,B{B}_1\}$ 共 $5$ 条，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 平面六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，既与 $AB$ 共面也与 $C{C}_1$ 共面的棱的条数为 ()

A. $3$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 与 $AB$ 共面的棱：$AB$，$BC$，$CD$，$DA$，$A_1{B}_1$，$C_1{D}_1$，$A{A}_1$，$B{B}_1$，共 $8$ 条。
2. 与 $C{C}_1$ 共面的棱：$C{C}_1$，$BC$，$CD$，$B_1{C}_1$，$C_1{D}_1$，$A{A}_1$，$B{B}_1$，$D{D}_1$，共 $8$ 条。
3. 交集：$BC$，$CD$，$C_1{D}_1$，$A{A}_1$，$B{B}_1$，共 $5$ 条。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

与棱 $AB$ 共面的棱包括底面中与它相交或平行的棱以及相应的上底面棱和侧棱， 即 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$，$A_1{B}_1$，$C_1{D}_1$，$A{A}_1$，$B{B}_1$，共 $8$ 条。 与棱 $C{C}_1$ 共面的棱包括与它相交的棱、与它平行的棱以及上底面中相应的棱， 即 $C{C}_1$，$BC$，$CD$，$B_1{C}_1$，$C_1{D}_1$，$A{A}_1$，$B{B}_1$，$D{D}_1$，共 $8$ 条。 两组棱的公共部分为 $BC$，$CD$，$C_1{D}_1$，$A{A}_1$，$B{B}_1$，共有 $5$ 条，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间共面位置的判定

核心方法：分别枚举与两棱共面的棱，取交集

避坑指南：与 $AB$ 共面 $8$ 条、与 $C{C}_1$ 共面 $8$ 条，交集 $BC$，$CD$，$C_1{D}_1$，$A{A}_1$，$B{B}_1$ 共 $5$ 条。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：共面判定按”相交或平行”两类数，别漏平行棱（$A{A}_1\parallel C{C}_1$）。

结论推广：平面六面体对棱平行成对出现，枚举时按”本面 $4$ 条 + 对面 $2$ 条 + 侧棱 $2$ 条”的节奏。

方法推广：枚举完先数条数（各 $8$ 条）再求交，数目对不上说明漏了平行类。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-05 填-正四棱柱异面直线角
• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角
• 2009-大纲卷I文-09 单-三棱柱异面直线
• 2009-大纲卷II文-05 单-正四棱柱异面直线