2009-湖南卷文-09 填-集合容斥计数

本题导读

考查容斥原理。$|A\cap B|=15+10-22=3$，喜爱篮球不喜爱乒乓球 $=15-3=12$。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 某班共 $30$ 人，其中 $15$ 人喜爱篮球运动，$10$ 人喜爱乒乓球运动，$8$ 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 至少喜爱一项的人数 $=30-8=22$。
2. $|A\cap B|=15+10-22=3$。
3. 喜爱篮球但不喜爱乒乓球 $=|A|-|A\cap B|=15-3=12$。

✅【答案】

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$12$

✍【详细解析】

Abstract

设喜爱篮球、乒乓球的学生集合分别为 $A$，$B$。由题意 $|A|=15$，$|B|=10$， 且 $|A\cup B|=30-8=22$。 因此 $|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=15+10-22=3$。 喜爱篮球但不喜爱乒乓球的人数为 $|A|-|A\cap B|=15-3=12$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的容斥原理

核心方法：$|A\cup B|=30-8$，$|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|$

避坑指南：$15+10-22=3$，再 $15-3=12$；两步走，别一步跳到 $12$ 写错过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“都不喜爱”给的是补集信息，先换算成并集。

结论推广：“喜爱 A 不喜爱 B”= $|A|-|A\cap B|$，不是 $|A|-|B|$。

方法推广：验算：$12+3+7+8=30$，四块人数闭合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-03 单-集合容斥计数
• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参
• 2009-大纲卷I文-02 单-集合交补运算
• 2009-天津卷文-13 填-集合交补反推