2009-天津卷文-13 填-集合交补反推

本题导读

考查集合运算。$U=\{1,\dots ,9\}$，$A\cap ({\complement }_{U}B)$ 恰为全部奇数 $\{1,3,5,7,9\}$，故 $B$ 为全部偶数 $\{2,4,6,8\}$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 设全集 $U=A\cup B=\{x\in {\mathbf{N}}^{\ast }\mid \lg x<1\}$，若 $A\cap ({\complement }_{U}B)=\{m\mid m=2n+1,n=0,1,2,3,4\}$，则集合 $B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\lg x<1\Rightarrow x<10$，故 $U=\{1,2,\dots ,9\}$。
2. $A\cap ({\complement }_{U}B)=\{1,3,5,7,9\}$：五个奇数都在 $A$ 且都不在 $B$。
3. 对偶数 $k$：若 $k\notin B$，则由 $A\cup B=U$ 得 $k\in A$，于是 $k\in A\cap ({\complement }_{U}B)$，与该集合只含奇数矛盾。故 $B=\{2,4,6,8\}$。

✅【答案】

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$\{2,4,6,8\}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\lg x<1$ 得 $x<10$，结合 $x\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，故 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$。 $A\cap ({\complement }_{U}B)=\{1,3,5,7,9\}$，即五个奇数都属于 $A$ 且都不属于 $B$。 对任一偶数 $k$：若 $k\notin B$，则由 $A\cup B=U$ 知 $k\in A$，从而 $k\in A\cap ({\complement }_{U}B)$，与 $A\cap ({\complement }_{U}B)$ 只含奇数矛盾。 故全部偶数都在 $B$ 中，且 $B$ 不含任何奇数（奇数 $\notin B$），即 $B=\{2,4,6,8\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的交集与补集

核心方法：先求全集 + 由交补集反推

避坑指南：$\lg x<1\Rightarrow 0<x<10$，$U$ 是 $\{1,\dots ,9\}$；偶数若不在 $B$ 就会落进 $A\cap {\complement }_{U}B$ 与题设矛盾，反证一步到位。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：交、并、补混合运算是集合题主力题型。

结论推广：$A\cup B=U$ 且 $A\cap ({\complement }_{U}B)$ 给出 $A$ 中不属于 $B$ 的全部元素。

方法推广：$B=U\setminus (A\cap ({\complement }_{U}B))$ 在本题恰好成立，但依据是反证而非公式，推理要写清楚。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-01 单-集合补集区间
• 2011-湖北卷文-01 单-集合补集并集
• 2011-江西卷文-02 单-集合补集混合运算