2009-江西卷文-03 单-集合容斥计数

本题导读

考查容斥原理。都参加的 $30+25-50=5$ 人，仅参加一项 $50-5=45$ 人，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） $50$ 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项.参加甲项的学生有 $30$ 名，参加乙项的学生有 $25$ 名，则仅参加了一项活动的学生人数为 ()

A. $50$　　　　　　　B. $45$　　　　　　　C. $40$　　　　　　　D. $35$

🔍【思路分析】

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1. 容斥原理：两项都参加的人数 $=30+25-50=5$。
2. 仅参加一项 $=$ 总人数 $-$ 都参加的人数 $=50-5=45$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设两项都参加的有 $x$ 人。由容斥原理，$30+25-x=50$，得 $x=5$。 仅参加一项活动的学生人数为 $50-5=45$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的容斥计数

核心方法：容斥原理 $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

避坑指南：都参加的 $=30+25-50=5$，仅参加一项 $=50-5=45$；“至少参加一项”保证没有都不参加的人，总数才可直接相减。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：容斥计数的关键是分清”都参加""仅参加甲""仅参加乙”三个互斥区域。

结论推广：$|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|$。

方法推广：问”仅参加一项”时别把两项都参加的算进去。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-02 单-集合交集
• 2009-大纲卷II文-01 单-集合交并补
• 2009-新课标卷文-01 单-集合交集