2009-湖南卷理-09 填-集合

本题导读

本题考查集合的Venn图表示、集合的基数运算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由总人数减去两项都不喜爱的人数，得到至少喜爱一项的总人数。
2. 利用容斥原理求出两项都喜爱的人数。
3. 用喜爱篮球的总人数减去两项都喜爱的人数，即得所求结果。

点击查看答案

12

✍【详细解析】

Abstract

设全集为 $U$，其中 $|U|=30$。 设喜爱篮球运动的同学集合为 $A$，喜爱乒乓球运动的同学集合为 $B$。 由题意知：$|A|=15$，$|B|=10$。 两项都不喜爱的人数为 8，则至少喜爱一项的人数为： $|A\cup B|=30-8=22$ 根据集合的容斥原理公式 $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$，代入数据得： $22=15+10-|A\cap B|⟹|A\cap B|=3$ 即两项都喜爱的同学有 3 人。 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为： $|A|-|A\cap B|=15-3=12$ 答案：12

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合交、并、补集的实际应用计数。
2. 核心方法：容斥原理法、韦恩图直观分析法。
3. 避坑指南：容易将“喜爱篮球运动的人数（15人）”误认为是“只喜爱篮球运动的人数”，计算时务必扣除交叉重复的部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高一必修一“集合的运算”章节中经典的实际应用习题。
2. 结论推广：若全集为 $U$，满足属性 $A$ 的元素个数为 $a$，满足属性 $B$ 的元素个数为 $b$，两者都不满足的元素个数为 $c$，则只满足属性 $A$ 的元素个数为 $a-(a+b+c-|U|)=|U|-b-c$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷理-02 填-集合
• 2011-北京卷文-01 单-集合补集区间