2009-福建卷理-21B 解-参数方程

本题导读

本题考查圆的参数方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 已知直线 $l:3x+4y-12=0$ 与圆 $C:\{\begin{array}{l}x=-1+2\cos \theta \\ y=2+2\sin \theta \end{array}$ ($\theta$ 为参数), 试判断它们的公共点个数.

🔍【思路分析】

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1. 利用平方关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 消去参数 $\theta$，求出圆 $C$ 的直角坐标方程。

2. 确定圆心坐标与半径，计算圆心到直线 $l$ 的距离 $d$，与半径 $R$ 比较大小确定公共点个数。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

由圆 $C$ 的参数方程可得： $\{\begin{array}{l}x+1=2\cos \theta \\ y-2=2\sin \theta \end{array}$。 两式平方相加得圆 $C$ 的直角坐标方程为： $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=4$。 因此，圆 $C$ 的圆心为 $(-1,2)$，半径 $R=2$。 圆心到直线 $l:3x+4y-12=0$ 的距离为： $d=\frac{|3\times (-1)+4\times 2-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-3+8-12|}{5}=\frac{7}{5}$。 因为 $d=\frac{7}{5}<2=R$，所以直线与圆相交， 故直线 $l$ 与圆 $C$ 的公共点个数为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的参数方程一般形式 $\{\begin{array}{l}x=x_0+R\cos \theta \\ y=y_0+R\sin \theta \end{array}$。

2. 核心方法：几何法判定直线与圆的位置关系（$d$ 与 $R$ 的关系）。

3. 避坑指南：计算距离公式时注意分子绝对值内部的符号变化，确保计算无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自选修4-4《坐标系与参数方程》的基本练习题，是解析几何选考部分的经典设问。

2. 结论推广：对于任意直线 $Ax+By+C=0$ 与圆，公共点个数仅由圆心距与半径的代数大小关系决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-05 填-参数方程
• 2011-广东卷文-14 填-参数方程交点
• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标