2009-辽宁卷理-13 填-分层抽样

本题导读

本题考查统计中的分层抽样与总体平均数的估算。核心在于利用各分厂的产量比例计算出各层抽取的样本量，再利用加权平均数的概念求出总样本的平均寿命。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为 $1:2:1$，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共抽取 100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 $980\text{ h}$，$1020\text{ h}$，$1032\text{ h}$，则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为$\underline{}$ $\text{h}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据产量之比 $1:2:1$ 计算出第一、二、三分厂分别抽取的产品件数。
2. 利用三个分厂各自对应的平均值进行加权平均计算，求出总体的平均寿命。

✅【答案】

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$1013$

✍【详细解析】

Abstract

因为第一、二、三分厂的产量之比为 $1:2:1$， 所以分层抽样中，三个分厂抽取的样本件数分别为： 第一分厂：$100\times \frac{1}{1+2+1}=25$ (件)； 第二分厂：$100\times \frac{2}{1+2+1}=50$ (件)； 第三分厂：$100\times \frac{1}{1+2+1}=25$ (件)。 则抽取的 100 件产品的使用寿命平均值为： $\bar{x}=\frac{25\times 980+50\times 1020+25\times 1032}{100}$ 利用分配律化简计算： $\bar{x}=\frac{25\times (980+2\times 1020+1032)}{100}=\frac{980+2040+1032}{4}=\frac{4052}{4}=1013\text{ h}$。 故答案为：$1013$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分层抽样的比例分配，样本平均数的加权计算。
2. 核心方法：加权平均数计算。
3. 避坑指南：容易直接将三个分厂的平均寿命进行简单算术平均（即 $\frac{980+1020+1032}{3}=1010.67$），而忽略了各厂样本权重的不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高中数学课本中关于分层抽样与总体指标估计的基本应用题。
2. 结论推广: 若各层抽样所占比例（权重）分别为 $w_1,w_2,\cdots ,w_k$，各层样本平均数分别为 ${\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2,\cdots ,{\bar{x}}_k$，则总样本平均数为 $\bar{x}={\sum }_{i=1}^k{w}_i{\bar{x}}_i$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$1013$

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-10 填-分层抽样
• 2011-天津卷理-09 填-分层抽样
• 2011-山东卷文-13 填-分层抽样