2009-重庆卷文-16 解-三角周期与单调

本题导读

考查三角化简与单调区间。（1）$f(x)=2+\sqrt{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$，周期 $\frac{\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{3}$，$\omega =\frac{3}{2}$；（2）$g(x)=2+\cos 3x-\sin 3x$，增区间为 $\left(\frac{\pi }{4}+\frac{2k\pi }{3},\frac{7\pi }{12}+\frac{2k\pi }{3}\right)$（$k\in \mathbf{Z}$）。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 设函数 $f(x)=(\sin \omega x+\cos \omega x{)}^2+2{\cos }^2\omega x$（$\omega >0$）的最小正周期为 $\frac{2\pi }{3}$.

(1)求 $\omega$ 的值；

(2)若函数 $y=g(x)$ 的图象是由 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位长度得到，求 $y=g(x)$ 的单调增区间.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开降幂：$f(x)=1+\sin 2\omega x+1+\cos 2\omega x=2+\sqrt{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$。
2. 周期 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{3}$，得 $\omega =\frac{3}{2}$。
3. $g(x)=f\left(x-\frac{\pi }{2}\right)=2+\sqrt{2}\sin \left(3x-\frac{5\pi }{4}\right)=2+\cos 3x-\sin 3x$。
4. $g^{\prime }(x)=-3\sin 3x-3\cos 3x>0⟺\sin 3x+\cos 3x<0$。
5. 即 $\sqrt{2}\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)<0$，$3x+\frac{\pi }{4}\in (\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi )$。

✅【答案】

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(1) $\omega =\frac{3}{2}$；(2)单调增区间为 $\left(\frac{\pi }{4}+\frac{2k\pi }{3},\frac{7\pi }{12}+\frac{2k\pi }{3}\right)$（$k\in \mathbf{Z}$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $f(x)=(\sin \omega x+\cos \omega x{)}^2+2{\cos }^2\omega x=2+\sin 2\omega x+\cos 2\omega x=2+\sqrt{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right),$ 可知 $f(x)$ 的最小正周期为 $\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }$。由题设 $\frac{\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{3}$，所以 $\omega =\frac{3}{2}$。 （2）图象向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位后， $g(x)=f\left(x-\frac{\pi }{2}\right)=2+\sqrt{2}\sin \left(3x-\frac{5\pi }{4}\right)=2+\cos 3x-\sin 3x.$ 因此 $g^{\prime }(x)=-3\sin 3x-3\cos 3x.$ $g(x)$ 单调递增当且仅当 $\sin 3x+\cos 3x<0$，即 $\sqrt{2}\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)<0.$ 所以 $3x+\frac{\pi }{4}\in (\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi )$，$k\in \mathbf{Z}$， 从而单调增区间为 $\left(\frac{\pi }{4}+\frac{2k\pi }{3},\frac{7\pi }{12}+\frac{2k\pi }{3}\right),k\in \mathbf{Z}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：降幂辅助角化简与平移后单调区间

核心方法：$f(x)=2+\sqrt{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$，周期反解 $\omega$

避坑指南：平移 $\frac{\pi }{2}$ 后相位变为 $3x-\frac{5\pi }{4}$；用 $g^{\prime }(x)>0$ 或复合单调性求增区间，区间端点加周期 $\frac{2\pi }{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$(\sin u+\cos u{)}^2=1+\sin 2u$，$2{\cos }^{2}u=1+\cos 2u$，降幂是第一步。

结论推广：$\sin \left(3x-\frac{5\pi }{4}\right)$ 展开得 $\frac{\cos 3x-\sin 3x}{\sqrt{2}}$，与直接平移结果一致。

方法推广：单调区间必须标注 $k\in \mathbf{Z}$，相邻增区间不要合并写。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调
• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称
• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域