2009-重庆卷理-11 填-集合

本题导读

本题考查集合的包含关系与子集、一元一次方程与一元二次方程的解法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 满足 $A=\{x\mid x^2-2x-3=0\}$， $B=\{x\mid ax-1=0\}$，若 $B\subseteq A$，则实数 $a$ 的取值集合为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 解一元二次方程求出集合 $A$ 的所有元素。

2. 根据 $B\subseteq A$，对集合 $B$ 的可能状态进行分类讨论： $B$ 可以为 $\varnothing$，也可以为 $\{3\}$ 或 $\{-1\}$。

3. 分别计算各情形下对应的参数 $a$ 的值，最后合并为集合。

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实数 $a$ 的取值集合为 $\left\{-1,0,\frac{1}{3}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

解：因 $A=\{x\mid x^2-2x-3=0\}$，解方程 $(x-3)(x+1)=0$ 得 $x=3$ 或 $x=-1$。 故 $A=\{3,-1\}$。 由 $B=\{x\mid ax-1=0\}⟹ax=1$。因为 $B\subseteq A$，分以下三种情况讨论： ① 当 $B=\varnothing$ 时，方程 $ax=1$ 无解，此时 $a=0$； ② 当 $B=\{3\}$ 时，将 $x=3$ 代入方程得 $3a=1⟹a=\frac{1}{3}$； ③ 当 $B=\{-1\}$ 时，将 $x=-1$ 代入方程得 $-a=1⟹a=-1$。 综上所述，实数 $a$ 的取值集合为 $\left\{-1,0,\frac{1}{3}\right\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：子集定义（若 $x\in B⟹x\in A$）；空集是任何集合的子集。

2. 核心方法：分类归纳讨论法。

3. 避坑指南：极其容易漏掉 $a=0$ 使得 $B=\varnothing$ 的临界情况，这也是此类题目最经典、失分率最高的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中集合的包含关系与一元方程根的综合习题，旨在通过“隐形空集”考查逻辑推理的完整性。

2. 结论推广: 若集合 $B=\{x\mid ax=b\}\subseteq A$，则必包含 $a=0,b\ne 0$ 导致 $B=\varnothing$ 的特殊分支。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷理-02 填-集合
• 2011-北京卷文-01 单-集合补集区间