2009-重庆卷理-15 填-解三角形

本题导读

本题考查双曲线的定义与几何性质、正弦定理的应用，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$.若双曲线上存在一点 $P$ 使 $\frac{\sin \angle P{F}_1{F}_2}{\sin \angle P{F}_2{F}_1}=\frac{a}{c}$，则该双曲线的离心率的取值范围为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在焦点三角形 $\Delta P{F}_1{F}_2$ 中，利用正弦定理将已知正弦比 $\frac{\sin \angle P{F}_1{F}_2}{\sin \angle P{F}_2{F}_1}=\frac{a}{c}$ 直接转化为对边长之比： $\frac{|P{F}_2|}{|P{F}_1|}=\frac{a}{c}$。
2. 设 $|P{F}_1|=cx$，则 $|P{F}_2|=ax$。由于 $P$ 在双曲线上，根据双曲线的几何定义有 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$，可分类讨论求出 $x$ 的值，进而写出三边 $c,ac,|F_1{F}_2|=2c$ 的表达式。
3. 利用三角形两边之和大于第三边的度量制约，列出关于 $a$ 和 $c$ 的不等式，两边同除以 $a$ 转化为关于离心率 $e$ 的一元二次不等式求解。

点击查看答案

$(1,1+\sqrt{2})$

✍【详细解析】

Abstract

解：在焦点三角形 $\Delta P{F}_1{F}_2$ 中，根据正弦定理恒有： $\frac{|P{F}_2|}{\sin \angle P{F}_1{F}_2}=\frac{|P{F}_1|}{\sin \angle P{F}_2{F}_1}⟹\frac{\sin \angle P{F}_1{F}_2}{\sin \angle P{F}_2{F}_1}=\frac{|P{F}_2|}{|P{F}_1|}$ 已知 $\frac{\sin \angle P{F}_1{F}_2}{\sin \angle P{F}_2{F}_1}=\frac{a}{c}$，所以： $\frac{|P{F}_2|}{|P{F}_1|}=\frac{a}{c}⟹|P{F}_2|=\frac{a}{c}|P{F}_1|$ 根据双曲线的几何定义， $|P{F}_1|-|P{F}_2|=\pm 2a$。 分两种情形进行边界讨论： 情形①：若 $P$ 在右支上，则 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$。 代入比例关系得： $|P{F}_1|-\frac{a}{c}|P{F}_1|=2a⟹|P{F}_1|\left(1-\frac{a}{c}\right)=2a⟹|P{F}_1|\cdot \frac{c-a}{c}=2a$。 解得： $|P{F}_1|=\frac{2ac}{c-a}$，进而得 $|P{F}_2|=\frac{2a^2}{c-a}$。 在 $\Delta P{F}_1{F}_2$ 中，已知底边 $|F_1{F}_2|=2c$，三边必须满足三角形两边之和大于第三边的几何制约： $|P{F}_2|+|F_1{F}_2|>|P{F}_1|⟹\frac{2a^2}{c-a}+2c>\frac{2ac}{c-a}$ 两边同除以 2 并通分项： $\frac{a^2}{c-a}+c>\frac{ac}{c-a}⟹\frac{a^2-ac}{c-a}+c>0⟹\frac{a(a-c)}{c-a}+c>0$ 因为 $\frac{a-c}{c-a}=-1$，上式化简为： $-a+c>0⟹c>a$（此为双曲线天然性质，无额外约束）。 再由另一组三角不等式限制（两边之差小于第三边）： $|P{F}_1|-|P{F}_2|<|F_1{F}_2|⟹2a<2c⟹a<c$（无新约束）。 最后由 $|P{F}_1|+|P{F}_2|>|F_1{F}_2|$ 可得： $\frac{2ac}{c-a}+\frac{2a^2}{c-a}>2c⟹\frac{ac+a^2}{c-a}>c$ 因为双曲线中 $c>a⟹c-a>0$，两边同乘 $(c-a)$： $ac+a^2>c(c-a)⟹ac+a^2>c^2-ac⟹c^2-2ac-a^2<0$ 两边同除以 $a^2$，并将离心率 $e=\frac{c}{a}$ 代入： $e^2-2e-1<0$ 解此关于 $e$ 的二次不等式，其正根范围为 $1<e<1+\sqrt{2}$。

情形②：若 $P$ 在左支上，则 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2a⟹\frac{a}{c}|P{F}_1|-|P{F}_1|=2a⟹|P{F}_1|\left(\frac{a-c}{c}\right)=2a$。 因为在双曲线中 $c>a⟹a-c<0$，导致算出的模长 $|P{F}_1|<0$，不合实际，故此种空间情形不存在。

综上所述，该双曲线离心率的取值范围为 $(1,1+\sqrt{2})$。

填空答案：$(1,1+\sqrt{2})$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的第一定义；正弦定理与边角转化；焦点三角形三边不等式的代数范围控制。
2. 核心方法：边长代数化与不等式放缩法。
3. 避坑指南：容易只关注到双曲线中 $c>a⟹e>1$ 的下界，而遗漏了利用三角形两边之和大于第三边（即 $|P{F}_1|+|P{F}_2|>2c$）这一极其隐蔽的几何几何边界，导致漏掉上界 $1+\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中双曲线定义与性质一章的压轴思考习题。其核心考查意图是利用三角形的几何边长性质去限制解析几何中的离心率变量。
2. 结论推广: 对于任意圆锥曲线的焦点三角形 $\Delta P{F}_1{F}_2$，凡是给出关于底角正弦比例关系的条件，第一步首选正弦定理将其秒转化为对边的模长比例，即可让问题迎刃而解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高