2012-重庆卷文-07 单-对数的运算与比较

本题导读

本题考查对数的运算性质，以及对数式比较大小。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 已知 $a={\log }_{2}3+{\log }_2\sqrt{3}$，$b={\log }_{2}9-{\log }_2\sqrt{3}$，$c={\log }_{3}2$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系是()

A. $a=b<c$　　　　　B. $a=b>c$　　　　　C. $a<b<c$　　　　　D. $a>b>c$

🔍【思路分析】

破题导航

$a={\log }_2(3\sqrt{3})$，$b={\log }_2\frac{9}{\sqrt{3}}={\log }_2(3\sqrt{3})$，故 $a=b$；再与 $c={\log }_{3}2$ 比即可。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

$a={\log }_{2}3+{\log }_2\sqrt{3}={\log }_2(3\sqrt{3})={\log }_2{3}^{\frac{3}{2}}$。

$b={\log }_{2}9-{\log }_2\sqrt{3}={\log }_2\frac{9}{\sqrt{3}}={\log }_2(3\sqrt{3})$。

所以 $a=b$。

又 $a={\log }_2{3}^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}{\log }_{2}3=\frac{3}{2{\log }_{3}2}=\frac{3}{2c}$。

由 $c={\log }_{3}2\in (0,1)$，得 $a=\frac{3}{2c}>1>c$。

故 $a=b>c$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数的加法（真数相乘）、减法（真数相除）与换底公式

核心方法：先各自合并成单对数，发现 $a=b$ 后用换底公式把 $a$ 用 $c$ 表示，化为商的比较

避坑指南：${\log }_{2}9-{\log }_2\sqrt{3}$ 是”真数相除”而不是”对数相除”，错算成 ${\log }_2\frac{9}{\sqrt{3}}$ 以外的结果（如 ${\log }_2(9-\sqrt{3})$）会全盘皆错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数运算与大小比较题，与 2012 年大纲卷文第 11 题、2012 年天津卷文第 4 题同族。

结论推广：${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$，故 ${\log }_{2}3=\frac{1}{{\log }_{3}2}$；比较 ${\log }_{m}x$ 与 ${\log }_{n}y$ 时，常借”与 $1$ 比”或”换底成同一底”过渡。

方法推广：多个对数比大小：先合并同类真数，再统一底数，最后夹逼定序。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-11 单-指对数比大小
• 2012-天津卷文-04 单-指对数比较大小
• 2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小