2010-上海卷理-04 填-两角和差

本题导读

本题考查二阶行列式的计算法则及两角和的余弦展开公式应用。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 行列式 $\left|\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{3}& \sin \frac{\pi }{6}\\ \sin \frac{\pi }{3}& \cos \frac{\pi }{6}\end{array}\right|$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据二阶行列式展开公式 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$ 计算。
2. 代入得 $\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{6}-\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{6}$。
3. 利用余弦和角公式 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 化简求解（或直接代入特殊三角函数值）。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

方法一：三角恒等变换 根据二阶行列式的展开法则： $\left|\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{3}& \sin \frac{\pi }{6}\\ \sin \frac{\pi }{3}& \cos \frac{\pi }{6}\end{array}\right|=\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{6}-\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{6}$

根据两角和的余弦公式 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$： $\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{6}-\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{6}=\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{2}=0$

方法二：数值直接计算 已知 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$，$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$，$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$： $\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right|=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=0$

故答案为：$0$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二阶行列式交叉相乘公式 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$。
2. 核心方法：公式展开 $\to$ 特殊角三角函数值代入/和角公式化简。
3. 避坑指南：主对角线乘积减去副对角线乘积，符号切勿混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷特色的矩阵与行列式基础考点。
2. 结论推广：$\left|\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \beta \\ \sin \alpha & \cos \beta \end{array}\right|=\cos (\alpha +\beta )$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-03 单-余弦函数
• 2011-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形