2010-上海卷理-14 填-集合

本题导读

本题考查集合子集包含关系的排列组合计数，实质是求包含 $\varnothing$ 和全集 $U$ 的 $4$ 元素全序链的种数。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 从集合 $U=\{a,b,c,d\}$ 的子集中抽出 $4$ 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：

(1) $\varnothing ,U$ 都要选出；

(2) 对选出的任意两个子集 $A$ 和 $B$，必有 $A\subseteq B$ 或 $A\supseteq B$.

那么，共有$\underline{}$种不同的选法.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 集合 $U=\{a,b,c,d\}$ 元素个数为 $n=4$。选出的 4 个不同子集形成一个包含链： $\varnothing =A_0A_1A_2A_3=U$
2. 中间的两个子集 $A_1,A_2$ 必须满足 $\varnothing A_1A_2U$。
3. 根据 $A_1$ 和 $A_2$ 的元素个数（势）分类讨论：

• 情况一：$|A_1|=1,|A_2|=2$；
• 情况二：$|A_1|=1,|A_2|=3$；
• 情况三：$|A_1|=2,|A_2|=3$。

✅【答案】

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$36$

✍【详细解析】

Abstract

要满足对任意选出的两个子集都有包含关系，选出的 $4$ 个不同子集按照元素个数从小到大排列后，必然构成递进的包含链： $\varnothing A_1A_2U$

其中 $|U|=4$，$|\varnothing |=0$。中间子集 $A_1,A_2$ 的元素个数只能从 $\{1,2,3\}$ 中挑选 $2$ 个不同的数，有以下三种可能的元素个数分布：

情况 1：$|A_1|=1,|A_2|=2$

• 从 $4$ 个元素中选 $1$ 个作为 $A_1$：有 ${\mathrm{C}}_4^1=4$ 种；
• 从剩下的 $3$ 个元素中选 $1$ 个加入 $A_1$ 构成 $A_2$：有 ${\mathrm{C}}_3^1=3$ 种；
• 选法种数：$4\times 3=12$ 种。

情况 2：$|A_1|=1,|A_2|=3$

• 从 $4$ 个元素中选 $1$ 个作为 $A_1$：有 ${\mathrm{C}}_4^1=4$ 种；
• 从剩下的 $3$ 个元素中选 $2$ 个加入 $A_1$ 构成 $A_2$：有 ${\mathrm{C}}_3^2=3$ 种；
• 选法种数：$4\times 3=12$ 种。

情况 3：$|A_1|=2,|A_2|=3$

• 从 $4$ 个元素中选 $2$ 个作为 $A_1$：有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种；
• 从剩下的 $2$ 个元素中选 $1$ 个加入 $A_1$ 构成 $A_2$：有 ${\mathrm{C}}_2^1=2$ 种；
• 选法种数：$6\times 2=12$ 种。

总计： 根据加法原理，满足条件的总选法种数为： $12+12+12=36\text{（种）}$

故答案为：$36$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的包含关系链与分类计数原理。
2. 核心方法：确定包含链结构 $\varnothing A_1A_2U$ $\to$ 按中间集合势的组合划分三种情况。
3. 避坑指南：必须保证选择的 $4$ 个子集互不相同（势递增），不要漏算某种元素个数搭配。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：偏序集中的全序链（Chain）计数创新题。
2. 结论推广：从 $n$ 元集合中选包含 $\varnothing$ 和 $U$ 的长为 $k$ 的全序链，其种数为 $k!S(n,k)$（与第二类 Stiring 数相关）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷理-02 填-集合
• 2011-北京卷文-01 单-集合补集区间