2010-上海卷理-18 单-解三角形

本题导读

本题考查利用三角形高长推导三边关系，先用三边关系判别能否构成三角形，再用余弦定理判别三角形形状（锐角/直角/钝角）。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是 $\frac{1}{13},\frac{1}{11},\frac{1}{5}$，则此人将()

A. 不能作出满足要求的三角形　　　　　　B. 作出一个锐角三角形

C. 作出一个直角三角形　　　　　　　　　D. 作出一个钝角三角形

🔍【思路分析】

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1. 设三边长：设三边长分别为 $a,b,c$，对应的三条高分别为 $h_a=\frac{1}{13},h_b=\frac{1}{11},h_c=\frac{1}{5}$。
2. 利用面积求三边比例：$S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c⟹a:b:c=\frac{1}{h_a}:\frac{1}{h_b}:\frac{1}{h_c}=13:11:5$。
3. 检验三角形成立条件：较小两边之和 $5+11=16>13$，能构成三角形。
4. 判别形状：最大边为 $a=13k$，计算最长边对应的余弦值 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，判别其正负。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据高与面积的关系求三边比值 设三角形的面积为 $S$，三边长分别为 $a,b,c$，对应的高为 $h_a=\frac{1}{13},h_b=\frac{1}{11},h_c=\frac{1}{5}$。

由三角形面积公式： $S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c$

可得： $a=\frac{2S}{h_a}=26S,b=\frac{2S}{h_b}=22S,c=\frac{2S}{h_c}=10S$

所以三边长之比为： $a:b:c=26:22:10=13:11:5$

第二步：检验是否满足两边之和大于第三边 设三边长为 $a=13k,b=11k,c=5k(k>0)$。 较小的两边之和为： $b+c=11k+5k=16k>13k=a$ 满足三角形两边之和大于第三边的形成条件，故可以作出满足要求的三角形（排除 A）。

第三步：利用余弦定理判定三角形形状 最长边为 $a=13k$，所对的最大角为 $A$。

由余弦定理： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{(11k{)}^2+(5k{)}^2-(13k{)}^2}{2\times 11k\times 5k}$ $\cos A=\frac{121k^2+25k^2-169k^2}{110k^2}=\frac{146-169}{110}=\frac{-23}{110}<0$

因为最大角 $A$ 的余弦值为负数（$\cos A<0$），所以角 $A$ 为钝角（$90^{\circ }<A<180^{\circ }$）。

因此，此人将作出一个钝角三角形。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形高的倒数比等于边长比（$a:b:c=\frac{1}{h_a}:\frac{1}{h_b}:\frac{1}{h_c}$），余弦定理判断最大角正负。
2. 核心方法：面积倒数转化为边长 $\to$ 三角形三边存在性判断 $\to$ 余弦定理判断最大角。
3. 避坑指南：三条高分别为分式，其倒数恰好为整数比 $13:11:5$，切勿遗漏“三边存在性验证”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解三角形在几何构造中的经典应用题。
2. 结论推广：设三角形三边比例 $a:b:c$，最大角余弦值 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$：

• $\cos C>0⟹$ 锐角三角形；
• $\cos C=0⟹$ 直角三角形；
• $\cos C<0⟹$ 钝角三角形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2011-辽宁卷文-17 解-正余弦定理解三角形