2010-北京卷理-01 单-集合

本题导读

本题主要考查集合的基本交集运算，解题关键在于准确找出满足不等式约束的整数元素。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 集合 $P=\{x\in \mathbf{Z}\mid 0⩽x<3\}$，$M=\{x\in \mathbf{Z}\mid x^2⩽9\}$，则 $P\cap M=($\quad\quad$)$

A. $\{1,2\}$　　　　B. $\{0,1,2\}$　　　　C. $\{x\mid 0⩽x<3\}$　　　　D. $\{x\mid 0⩽x⩽3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 找出集合 $P$ 中的所有整数元素。

2. 解不等式 $x^2⩽9$，找出集合 $M$ 中的所有整数元素。

3. 根据交集的定义，提取两个集合的公共元素。

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B

✍【详细解析】

Abstract

由题意，集合 $P$ 中的元素为满足 $0⩽x<3$ 的整数， 故 $P=\{0,1,2\}$． 集合 $M$ 中的元素满足 $x^2⩽9⟹-3⩽x⩽3$ 的整数， 故 $M=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$． 根据交集的定义， $P\cap M$ 为两集合的公共元素集合， 即 $P\cap M=\{0,1,2\}$． 正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的交集概念及一元二次不等式的整数解。

2. 核心方法：元素列举法。对于离散的整数集合，直接列举能有效避免区间端点的混淆。

3. 避坑指南：必须注意代表元素属于整数集 $\mathbf{Z}$。部分考生易忽略此条件，错选表示实数区间的 C 或 D 选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题属于典型的高考卷第一道基础题，源自人教A版必修1第一章“集合的基本运算”课后基础练习。

5. 结论推广: 设 $P=\{x\in \mathbf{Z}\mid 0⩽x<n\}$ ($n\in {\mathbf{N}}_{+}$)且 $M=\{x\in \mathbf{Z}\mid x^2⩽n^2\}$，则恒有 $P\cap M=P$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷理-02 填-集合
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