2010-北京卷理-08 单-线面位置

本题导读

本题是一道高维立意、动态变化的立体几何压轴选择题。考查的核心意图在于利用“动中求静”的思维方式，通过等积变形选择合适的底面与高，将看似多变量交织的立体几何体积问题转化为单一变量的平面几何距离问题。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 2，动点 $E,F$ 在棱 $A_1{B}_1$ 上，动点 $P,Q$ 分别在棱 $AD,CD$ 上，若 $EF=1$，$A_{1}E=x$，$DQ=y$，$DP=z$（$x,y,z$ 大于零），则四面体 $PEFQ$ 的体积()

A. 仅与 $x$ 有关　　　　　　　　　　　　　B. 仅与 $y$ 有关

C. 仅与 $z$ 有关　　　　　　　　　　　　　D. 与 $x,y,z$ 都有关

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等积变换选择底面：若以 $△EFQ$ 为四面体的底面，由于 $EF=1$ 且 $A_1{B}_1\parallel CD$，动点 $Q$ 到直线 $EF$ 的距离恒等于两条平行线间的距离（定值），故底面积 $S_{△EFQ}$ 为定值。

2. 分析高的决定因素：四面体 $PEFQ$ 的高即为点 $P$ 到平面 $A_1{B}_{1}CD$ 的距离。

3. 建立投影距离模型：由于面 $A_1{B}_{1}CD$ 与面 $A_{1}AD{D}_1$ 垂直，点 $P$ 在棱 $AD$ 上移动时，其到平面 $A_1{B}_{1}CD$ 的距离仅由 $DP$ 的长度 $z$ 唯一决定。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为在正方体中 $A_1{B}_1\parallel CD$，所以 $A_1,B_1,C,D$ 四点共面。 选择 $△EFQ$ 作为四面体 $PEFQ$ 的底面，则点 $P$ 为该四面体的顶点。

由于 $E,F$ 在棱 $A_1{B}_1$ 上且 $EF=1$，而点 $Q$ 在棱 $CD$ 上，且 $A_1{B}_1\parallel CD$， 因此，点 $Q$ 到直线 $EF$ 的距离即为平行线 $A_1{B}_1$ 与 $CD$ 之间的距离。 该距离等于正方形面 $A_{1}AD{D}_1$ 的对角线 $A_{1}D$ 的长度，即： $d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ 由此可得底面积 $S_{△EFQ}$ 为定值： $S_{△EFQ}=\frac{1}{2}\times EF\times d=\frac{1}{2}\times 1\times 2\sqrt{2}=\sqrt{2}$

此时，四面体 $PEFQ$ 的高 $h$ 为点 $P$ 到平面 $A_1{B}_{1}CD$ 的距离。 因为平面 $A_1{B}_{1}CD\perp$ 平面 $A_{1}AD{D}_1$，且两平面的交线为 $A_{1}D$， 所以点 $P$ 到平面 $A_1{B}_{1}CD$ 的距离等于在平面 $A_{1}AD{D}_1$ 内点 $P$ 到直线 $A_{1}D$ 的距离。 在等腰直角 $△A_{1}AD$ 中，已知 $DP=z$，且 $\angle AD{A}_1=45^{\circ }$， 故点 $P$ 到 $A_{1}D$ 的距离为： $h=z\cdot \sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}z$

计算四面体 $PEFQ$ 的体积： $V=\frac{1}{3}\times S_{△EFQ}\times h=\frac{1}{3}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}z=\frac{1}{3}z$ 综上所述，四面体 $PEFQ$ 的体积仅与 $z$ 有关。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间点、线、面的位置关系，三棱锥的体积计算，动态几何中的变量剥离。

2. 核心方法：等积变形法。通过合理选择底面，证明底面积为常数，从而将三维多变量问题降维转化为一维线段长度问题。

3. 避坑指南：切忌盲目建立空间直角坐标系去求算点到平面的向量距离，由于涉及 $x,y,z$ 三个动态参数，代数计算和坐标表示极易陷入混乱。看到多动点问题，首选“动中求静”的几何分析法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考立体几何压轴选择题的经典之作，考查对三棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$ 的本质理解，其根源在于高等几何中的仿射变换与体积的不变性性质。

2. 结论推广: 若直线 $l_1\parallel$ 平面 $\alpha$，$l_2\subset \alpha$，在 $l_1$ 上取定长线段 $AB$，在 $\alpha$ 内取定长线段 $CD$（且 $CD\parallel l_2$），在线段 $AB,CD$ 上分别有动点组成的几何体，其体积的大小完全取决于非平行面上的独立动点到平面 $\alpha$ 的垂直射影距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-19 解-四棱锥体积与线面角
• 2012-福建卷文-19 解-长方体体积与线面垂直
• 2013-四川卷文-19 解-三棱柱线面与体积