2010-北京卷理-11 填-频率分布直方

本题导读

本题是一道统计基础题。第一空考查频率分布直方图的根本性质（总面积为 1）；第二空考查分层抽样的核心逻辑（按各层样本量比例进行等比分配）。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）. 由图中数据可知 $a=$ $\underline{}$. 若要从身高在 $[120,130),[130,140),[140,150]$ 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在 $[140,150]$ 内的学生中选取的人数应为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用全概率求解 $a$：直方图中各小组的（纵坐标 $\times$ 组距）等于该组频率，所有小组频率之和恒等于 1，借此列式求解 $a$。

2. 计算分层抽样人数：先提取出目标三组的纵坐标（即频率/组距的相对比例），计算出各组所占总抽取池的相对权重比例，再乘以总抽取人数 18。

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0.030

✍【详细解析】

Abstract

由图可知，身高的组距（横轴区间宽度）为： $110-100=120-110=10$ 各矩形的高度分别为：0.005，0.035，$a$，0.020，0.010。 根据频率分布直方图中各小矩形面积之和等于 1 的性质，可得： $(0.005+0.035+a+0.020+0.010)\times 10=1$ $(0.070+a)\times 10=1⟹0.070+a=0.1⟹a=0.030$

现在需要从 $[120,130),[130,140),[140,150]$ 三组内抽样。 这三组对应的矩形高度（等价于频数或频率之比）分别为：

• $[120,130)$ 组：$a=0.030$
• $[130,140)$ 组：$0.020$
• $[140,150]$ 组：$0.010$

三组的总高度权重为： $0.030+0.020+0.010=0.060$ 按照分层抽样等比例缩放的原则，从身高在 $[140,150]$ 内的学生中抽取的人数应为： $18\times \frac{0.010}{0.060}=18\times \frac{1}{6}=3$

填空答案：0.030；3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图的面积意义（面积 = 频率）、分层抽样按比例分配。
2. 核心方法：总面积归一法、相对比例乘总数法。
3. 避坑指南：

• 纵坐标混淆：直方图的纵坐标是“频率/组距”，计算频率时必须乘组距 10，切记不要直接把纵坐标当作频率相加。

• 抽样基数看错：第二空要求的是从“后三组”组成的新集体中按分层抽样选 18 人，而不是从总样本 100 人中选，看清抽样基底是防错的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是标准的教材基础统计知识点的缝合题，源于人教A版必修3《统计》中频率分布直方图与抽样方法两个核心概念的直接应用。

2. 结论推广: 在频率分布直方图中，若各组组距相等均为 $\Delta x$，要从其中指定的若干组（对应纵坐标分别为 $h_1,h_2,\dots ,h_k$）中用分层抽样抽取 $N$ 个人，则第 $i$ 组应当抽取的人数 $n_i=N\times \frac{h_i}{{\sum }_{j=1}^k{h}_j}$，此结果与组距 $\Delta x$ 的大小无关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-02 单-频率分布估计
• 2011-新课标卷文-19 解-频率分布与利润估计
• 2011-浙江卷文-13 填-频率分布直方图