2010-四川卷文-21 解-双曲线轨迹定点

本题导读

考查轨迹与定点。距离关系平方化简得 $E$：$x^2-\frac{y^2}{3}=1$；设直线斜率 $k$，韦达定理整体代换推出 $y_M{y}_N=-\frac{9}{4}$，于是 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=0$，$\angle MFN=90^{\circ }$，圆过点 $F$。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 已知定点 $A(-1,0)$，$F(2,0)$，定直线 $l$：$x=\frac{1}{2}$，不在 $x$ 轴上的动点 $P$ 与点 $F$ 的距离是它到直线 $l$ 的距离的 2 倍. 设点 $P$ 的轨迹为 $E$，过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $B$、$C$ 两点，直线 $AB$、$AC$ 分别交 $l$ 于点 $M$、$N$.

(1)求 $E$ 的方程；

(2)试判断以线段 $MN$ 为直径的圆是否过点 $F$，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. (1) 把距离关系写成 $\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=2\left|x-\frac{1}{2}\right|$，两边平方，一次项恰好消去。
2. (2) 设直线 $y=k(x-2)$（$k\ne 0$），与 $E$ 联立得韦达定理。
3. $M$、$N$ 是直线 $AB$、$AC$ 与 $x=\frac{1}{2}$ 的交点，用横坐标表出纵坐标，再把 $y_M{y}_N$ 化为韦达定理的整体表达式。
4. 目标即验证 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}$ 是否为零；斜率不存在（直线 $x=2$）时单独验证。

✅【答案】

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(1) $x^2-\frac{y^2}{3}=1$

(2) 以 $MN$ 为直径的圆过点 $F$（$\angle MFN=90^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $P=(x,y)$. 由题意， $\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=2\left|x-\frac{1}{2}\right|,$ 两边平方得 $x^2-4x+4+y^2=4x^2-4x+1$，化简得 $3x^2-y^2=3$，即 $E:\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1.$ （2）过 $F$ 的直线若与 $x$ 轴垂直，即 $x=2$，与 $E$ 的交点为 $(2,3)$、$(2,-3)$，相应地 $M=\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$、$N=\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$，此时 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=0$，结论成立. 下设直线斜率为 $k$（由 $B$、$C$ 不在 $x$ 轴上知 $k\ne 0$）：$y=k(x-2)$. 代入 $E$ 的方程 $3x^2-y^2=3$，整理得 $(3-k^2)x^2+4k^{2}x-(4k^2+3)=0,$ 设 $B$、$C$ 的横坐标分别为 $x_1$、$x_2$，则 $x_1+x_2=\frac{-4k^2}{3-k^2},x_1{x}_2=\frac{-(4k^2+3)}{3-k^2}.$ 直线 $AB$ 过 $A(-1,0)$ 与 $B\left(x_1,k(x_1-2)\right)$，其与 $x=\frac{1}{2}$ 的交点 $M$ 的纵坐标为 $y_M=\frac{k(x_1-2)}{x_1+1}\times \left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{3k(x_1-2)}{2(x_1+1)},$ 同理 $y_N=\frac{3k(x_2-2)}{2(x_2+1)}$. 于是 $y_M{y}_N=\frac{9k^2}{4}\cdot \frac{(x_1-2)(x_2-2)}{(x_1+1)(x_2+1)},$ 其中由根与系数的关系， $\frac{(x_1-2)(x_2-2)}{(x_1+1)(x_2+1)}=\frac{x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4}{x_1{x}_2+(x_1+x_2)+1}=\frac{-(4k^2+3)+8k^2+4(3-k^2)}{-(4k^2+3)-4k^2+(3-k^2)}=\frac{9}{-9k^2}=-\frac{1}{k^2}.$ 故 $y_M{y}_N=\frac{9k^2}{4}\times \left(-\frac{1}{k^2}\right)=-\frac{9}{4}$. 因为 $M=\left(\frac{1}{2},y_M\right)$、$N=\left(\frac{1}{2},y_N\right)$、$F=(2,0)$，所以 $\overrightarrow{FM}=\left(-\frac{3}{2},y_M\right),\overrightarrow{FN}=\left(-\frac{3}{2},y_N\right),$ $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=\frac{9}{4}+y_M{y}_N=\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=0.$ 所以 $\angle MFN=90^{\circ }$，即点 $F$ 在以线段 $MN$ 为直径的圆上. 综上，以线段 $MN$ 为直径的圆恒过点 $F$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：轨迹方程与圆过定点

核心方法：$E$：$x^2-\frac{y^2}{3}=1$；$y_M{y}_N=-\frac{9}{4}$，$\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=0$

避坑指南：距离关系平方后一次项恰好消去是化简关键；$M$、$N$ 的纵坐标由直线 $AB$、$AC$ 与 $x=\frac{1}{2}$ 的交点得出，用韦达定理整体代入，别试图解出 $x_1$、$x_2$；斜率不存在的直线（$x=2$）要单独验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定值定点问题是圆锥曲线解答题的压轴常客，本题”以 $MN$ 为直径的圆过 $F$“即 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=0$ 的向量化表述。

结论推广：圆过定点 $⟺$ 对径点向量数量积为零；韦达定理整体代换可避免求根。

方法推广：设直线、联立、韦达、目标表达式化简为常数四步走；特殊位置（垂直于轴的直线）补一个验证即完整。

🔗【关联脉络】

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• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-17 单-中点轨迹方程
• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 2009-重庆卷文-20 解-双曲线定义最值
• 2009-山东卷文-22 解-轨迹与椭圆圆综合