2010-四川卷理-05 单-三角

本题导读

本题考查向量加减法模长的几何意义（矩形对角线相等）及直角三角形斜边中线定理，利用几何性质可快速求得中线向量模长。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 设点 $M$ 是线段 $BC$ 的中点，点 $A$ 在直线 $BC$ 外，${\overrightarrow{BC}}^2=16$，$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$，则 $|\overrightarrow{AM}|=$()

A. $8$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 分析已知条件 $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$：两边平方或根据以 $AB,AC$ 为邻边的平行四边形对角线相等，可知该平行四边形为矩形，即 $\angle BAC=90^{\circ }$（$△ABC$ 为直角三角形）。
2. 由 ${\overrightarrow{BC}}^2=16⟹|\overrightarrow{BC}|=4$。
3. 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$M$ 为斜边 $BC$ 的中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得 $|\overrightarrow{AM}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|=2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定 $△ABC$ 的形状 因为 $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$，两边平方得： $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}{)}^2=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}{)}^2$ ${\overrightarrow{AB}}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^2={\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^2$ $4\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0⟹\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$

所以 $AB\perp AC$，即 $△ABC$ 是以 $A$ 为直角顶点的直角三角形。

第二步：求 $|\overrightarrow{AM}|$ 的长 由 ${\overrightarrow{BC}}^2=16$ 得斜边长为： $|\overrightarrow{BC}|=4$

因为 $M$ 是斜边 $BC$ 的中点，由直角三角形斜边中线定理： $|\overrightarrow{AM}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|=\frac{1}{2}\times 4=2$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量加减法模长的几何意义（$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|⟺\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$）。
2. 核心方法：

• 几何法：矩形对角线相等 $\to AB\perp AC\to$ 直角三角形斜边中线等于斜边一半；
• 向量法：中点向量公式 $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。

3. 避坑指南：注意题目问的是向量模长 $|\overrightarrow{AM}|$（线段长度），切勿误选 $4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：平面向量加减法几何意义与初中几何中线定理结合题。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，中线向量模长满足公式 $|\overrightarrow{AM}|=\frac{1}{2}\sqrt{2|\overrightarrow{AB}{|}^2+2|\overrightarrow{AC}{|}^2-|\overrightarrow{BC}{|}^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-15 解-向量与解三角形
• 2013-陕西卷文-18 解-向量与三角最值
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程