2010-大纲卷I理-09 单-解三角形

本题导读

本题考查双曲线的几何性质与三角形形状的综合计算。核心在于利用双曲线定义与余弦定理求出焦点弦的乘积，再通过三角形面积的两种公式（正弦面积公式与底高面积公式）互推求出点的高度（即到坐标轴的距离）。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 已知 $F_1,F_2$ 为双曲线 $C:x^2-y^2=1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\angle F_{1}P{F}_2=60^{\circ }$，则 $P$ 到 $x$ 轴的距离为()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据双曲线方程得出基本量 $a=1,b=1,c=\sqrt{2}$，焦距 $|F_1{F}_2|=2\sqrt{2}$。

2. 设 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$，由双曲线定义可得 $|m-n|=2$。

3. 在 $△F_{1}P{F}_2$ 中利用余弦定理列出关于 $m,n$ 的方程，求出乘积 $mn$ 的值。

4. 利用 $S=\frac{1}{2}mn\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|\cdot h$ 的等积变换求出高 $h$。

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B

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $x^2-y^2=1$ 可知，该双曲线为等轴双曲线， 其中 $a=1,b=1$，则 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}$。 焦点间距为 $|F_1{F}_2|=2c=2\sqrt{2}$。 设 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$，由双曲线定义可知 $|m-n|=2a=2$。 在 $△F_{1}P{F}_2$ 中，由余弦定理得： $|F_1{F}_2{|}^2=m^2+n^2-2mn\cos 60^{\circ }$ $(2\sqrt{2}{)}^2=(m-n{)}^2+2mn-2mn\cdot \frac{1}{2}$ $8=2^2+mn⟹mn=4$。 则 $△F_{1}P{F}_2$ 的面积可表示为： $S=\frac{1}{2}mn\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。 设点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $h$（即 $△F_{1}P{F}_2$ 中以 $F_1{F}_2$ 为底边的对应高），则： $S=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|\cdot h⟹\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\cdot h⟹\sqrt{2}h=\sqrt{3}$， 解得 $h=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。 答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦点三角形的定义关系求线段积，三角形等积变换公式。

2. 核心方法：代数代换法（将 $m^2+n^2$ 配凑成 $(m-n{)}^2+2mn$）。

3. 避坑指南：求得 $mn=4$ 后，不需要强行解出 $m$ 和 $n$ 的具体长，直接代入正弦面积公式即可。注意“到 $x$ 轴的距离”对应的几何意义就是该三角形内以 $x$ 轴上焦距为底的高。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自解析几何中非常经典的“焦点三角形”模型。

2. 结论推广：关于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点三角形面积公式为 $S=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta }{2}}$（其中 $\theta =\angle F_{1}P{F}_2$）。本题中 $b=1,\theta =60^{\circ }$，则 $S=\frac{1^2}{\tan 30^{\circ }}=\sqrt{3}$。利用 $S=ch⟹h=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。利用此推广结论可实现秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2011-辽宁卷文-17 解-正余弦定理解三角形