2011-新课标卷文-14 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及二元一次不等式组的约束。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}3⩽2x+y⩽9,\\ 6⩽x-y⩽9,\end{array}$ 则 $z=x+2y$ 的最小值为　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：令 $u=2x+y$
2. 步骤2：$v=x-y$
3. 步骤3：则 $z=x+2y=u-v$
4. 步骤4：最小值在 $u=3$

✅【答案】

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$-6$

✍【详细解析】

Abstract

令 $u=2x+y$，$v=x-y$，则 $3⩽u⩽9$，$6⩽v⩽9$。

由 $x=\frac{u+v}{3}$，$y=\frac{u-2v}{3}$，得 $z=x+2y=u-v$。因此 $z$ 在 $u=3$，$v=9$ 时取得最小值 $3-9=-6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性约束的换元处理（目标与约束同构）；目标函数最值

核心方法：约束给的正是 $u,v$ 的范围，把目标 $z$ 用 $u,v$ 表示后变成简单的减法

避坑指南：$u,v$ 的范围相互独立（换元后约束已解耦），$z=u-v$ 的最小值直接取 $u_{\min }-v_{\max }$；若不用换元而画可行域，注意顶点是 $(x,y)$ 平面上的四边形顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划求最值题，与 2012 年辽宁卷文第 9 题、2012 年新课标Ⅰ文第 5 题同族。

结论推广：当目标函数恰为约束的线性组合时（$z=x+2y=(2x+y)-(x-y)$），可行域顶点代入与”组 range 相减”等价，后者更快。

方法推广：线性规划题先观察目标与约束是否同构，能换元解耦就不画图；画图时用顶点代入法收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷文-09 单-线性规划最值
• 2012-四川卷文-08 单-线性规划最值
• 2012-新课标卷文-05 单-线性规划