2010-大纲卷II文-20 解-电路独立事件概率

本题导读

考查独立事件概率。（1）$1-(1-p{)}^3=0.999$ 得 $p=0.9$；（2）上支路 $0.891$，整体 $1-0.109\times 0.1=0.9891$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 如图，由 $M$ 到 $N$ 的电路中有 $4$ 个组件，分别标为 $T_1$，$T_2$，$T_3$，$T_4$，电流能通过 $T_1$，$T_2$，$T_3$ 的概率都是 $p$，电流能通过 $T_4$ 的概率是 $0.9$.电流能否通过各组件相互独立.已知 $T_1$，$T_2$，$T_3$ 中至少有一个能通过电流的概率为 $0.999$.

(1)求 $p$；

(2)求电流能在 $M$ 与 $N$ 之间通过的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $1-(1-p{)}^3=0.999\Rightarrow (1-p{)}^3=0.001\Rightarrow p=0.9$。
2. 电路结构：$T_1$ 与 $T_2$ 并联后与 $T_3$ 串联为上支路，再与 $T_4$ 并联。
3. $P(T_1\cup T_2)=1-(1-p{)}^2=0.99$，上支路 $0.99\times 0.9=0.891$。
4. 整体：$1-(1-0.891)(1-0.9)=1-0.0109=0.9891$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $p=0.9$

(2) 电流能在 $M$ 与 $N$ 之间通过的概率为 $0.9891$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$T_1,T_2,T_3$ 都不能通过电流的概率为 $(1-p{)}^3$， 由题意 $1-(1-p{)}^3=0.999⟺(1-p{)}^3=0.001,$ 解得 $1-p=0.1$，$p=0.9$。 （2）由图，电路结构为：$T_1$ 与 $T_2$ 并联后再与 $T_3$ 串联构成一条支路， 该支路与 $T_4$ 并联连接 $M,N$。 记事件 $A_i=$“电流能通过 $T_i$“，各事件相互独立， $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=0.9$，$P(A_4)=0.9$。 $T_1,T_2$ 并联部分能通过的概率为 $P(A_1\cup A_2)=1-P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})=1-0.1^2=\mathrm{0.99.}$ 上支路（再与 $T_3$ 串联）能通过的概率为 $P_1=0.99\times 0.9=\mathrm{0.891.}$ 电流能在 $M,N$ 之间通过，当且仅当上支路与 $T_4$ 至少一条导通： $P=1-(1-P_1)(1-P(A_4))=1-0.109\times 0.1=1-0.0109=\mathrm{0.9891.}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与对立事件的概率

核心方法：“至少一个”转对立；串并联结构逐段算

避坑指南：电路图的结构必须读准：$T_1\parallel T_2$ 再串 $T_3$ 为上支路，与 $T_4$ 并联；把并联当串联会得到 $0.8991$ 之类的错解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：并联（至少一条通）用 $1-$ 全不通；串联（每条都通）用乘法。

结论推广：$(1-p{)}^3=0.001$ 直接开立方得 $0.1$，注意 $0.1^3=0.001$ 的心算。

方法推广：独立性是各段概率可乘的前提，题设”相互独立”四字不可缺。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率
• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率
• 2013-大纲卷文-20 解-独立事件概率