2011-江西卷文-12 填-双曲线离心率求参

本题导读

本题考查双曲线的标准方程（焦点在 $y$ 轴），以及离心率。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 若双曲线 $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{m}=1$ 的离心率 $e=2$，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$a^2=16$
2. 步骤2：$b^2=m$
3. 步骤3：$c^2=16+m$
4. 步骤4：由 $e=2$ 解 $m$

✅【答案】

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$48$

✍【详细解析】

Abstract

方程中 $y^2$ 项系数为正，焦点在 $y$ 轴上：$a^2=16$，$b^2=m$，故 $c^2=a^2+b^2=16+m$。

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{16+m}}{4}=2$，两边平方：$\frac{16+m}{16}=4$，$m=48$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线中 $a^2$，$b^2$，$c^2$ 的识别（焦点位置）；离心率定义 $e=\frac{c}{a}$

核心方法：先由方程正负号定焦点轴与 $a^2$，再套 $c^2=a^2+b^2$（双曲线是加不是减），最后解离心率方程

避坑指南：焦点在 $y$ 轴时 $a^2=16$ 在 $y^2$ 下方——别按椭圆习惯把 $x^2$ 下的 $m$ 当成 $b^2$ 以外的角色；双曲线 $c^2=a^2+b^2$（$m$ 越大越扁长），与椭圆 $c^2=a^2-b^2$ 相反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线离心率题与 2013-陕西卷文-11、2012-重庆卷文-14、2014-新课标I卷文-04 同族。

结论推广：推广：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 中 $e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$；给定离心率 $e$，即给定比值 $b^2=(e^2-1)a^2$，方程一个参数即可完全确定形状。

方法推广：圆锥曲线求参：先判焦点轴定 $a^2$，再列 $e$ 的方程；平方去根号后记得回代检验为正。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-11 填-双曲线离心率
• 2012-重庆卷文-14 填-双曲线的离心率
• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率