2010-大纲卷II理-10 单-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线方程）、三角形面积计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 若曲线 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 在点 $\left(a,a^{-\frac{1}{2}}\right)$ 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 $18$，则 $a=$ ()

A. $64$　　　　　　　B. $32$　　　　　　　C. $16$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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1. 对 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 求导，求得切线斜率 $k=y^{\prime }(a)$。
2. 写出在点 $\left(a,a^{-\frac{1}{2}}\right)$ 处的切线方程。
3. 求出切线在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距，建立面积关于 $a$ 的方程求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对函数求导： $y^{\prime }=-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}$

在点 $\left(a,a^{-\frac{1}{2}}\right)$ 处的切线斜率为 $k=-\frac{1}{2}{a}^{-\frac{3}{2}}$。 切线方程为： $y-a^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}{a}^{-\frac{3}{2}}(x-a)$

化简得： $y=-\frac{1}{2}{a}^{-\frac{3}{2}}x+\frac{3}{2}{a}^{-\frac{1}{2}}$

求截距：

• 令 $x=0$，得 $y$ 轴截距为 $y_0=\frac{3}{2}{a}^{-\frac{1}{2}}$；
• 令 $y=0$，得 $x$ 轴截距为 $x_0=3a$。

切线与两坐标轴围成的三角形面积为： $S=\frac{1}{2}\cdot x_0\cdot y_0=\frac{1}{2}\cdot (3a)\cdot \left(\frac{3}{2}{a}^{-\frac{1}{2}}\right)=\frac{9}{4}{a}^{\frac{1}{2}}$

由 $S=18$，得： $\frac{9}{4}{a}^{\frac{1}{2}}=18⟹a^{\frac{1}{2}}=8⟹a=64$

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义与直线截距式。
2. 核心方法：点斜式写切线方程 $\to$ 求截距 $\to$ 建立面积方程。
3. 避坑指南：幂函数求导公式 $(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$ 中的指数计算需仔细，避免负指数计算出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于导数切线几何应用的基本问题。
2. 结论推广：对幂函数 $y=x^{-k}(k>0)$ 在任意点 $(a,f(a))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积比例恒可化简为 $C\cdot a^{\frac{1-k}{2}}$ 形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集
• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-上海卷理-17 单-三角