2010-大纲卷II理-16 填-线面位置

本题导读

本题考查球的截面圆性质、勾股定理与直角三角形，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 已知球 $O$ 的半径为 $4$，圆 $M$ 与圆 $N$ 为该球的两个小圆，$AB$ 为圆 $M$ 与圆 $N$ 的公共弦，$AB=4$. 若 $OM=ON=3$，则两圆圆心的距离 $MN=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据球的截面性质，利用球半径 $R$ 和球心距 $OM,ON$ 求出小圆 $M$ 与圆 $N$ 的半径。
2. 取 $AB$ 中点 $P$，在小圆中由弦长求出 $PM$ 与 $PN$ 的长。
3. 证明 $O,M,P,N$ 四点共面，并在四边形 $OMPN$ 中通过勾股定理求角与边长，进而得到 $MN$ 的长。

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** $3$

✍【详细解析】

Abstract

设球半径 $R=4$。 在 Rt$△OMA$ 中，小圆 $M$ 的半径为： $r_1=\sqrt{R^2-O{M}^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$ 同理，小圆 $N$ 的半径为 $r_2=\sqrt{7}$。

取 $AB$ 的中点 $P$，连接 $PM,PN,OP$。 因为 $AB=4$，所以在圆 $M$ 中： $PM=\sqrt{r_1^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{7-2^2}=\sqrt{3}$ 同理 $PN=\sqrt{3}$。

在 Rt$△OPA$ 中（因为 $OP\perp AB$）： $OP=\sqrt{O{A}^2-A{P}^2}=\sqrt{16-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

由于 $OP\perp AB,MP\perp AB,NP\perp AB$，故 $O,M,P,N$ 四点共面（均落在 $AB$ 的垂直平分平面上）。

在 $△OPM$ 中，三边长分别为 $OM=3,PM=\sqrt{3},OP=2\sqrt{3}$。 因为 $O{M}^2+P{M}^2=3^2+(\sqrt{3}{)}^2=12=O{P}^2$，所以 $\angle OMP=90^{\circ }$。 同理 $\angle ONP=90^{\circ }$。

因此，四边形 $OMPN$ 中 $OP$ 为对角线且两对角互补，四边形对角线 $OP\perp MN$。 设 $OP$ 与 $MN$ 交于点 $H$。由直角三角形面积公式： $\frac{1}{2}\cdot OM\cdot PM=\frac{1}{2}\cdot OP\cdot MH⟹3\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\times MH⟹MH=\frac{3}{2}$

故两圆圆心的距离为： $MN=2MH=3$

答案： $3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球体截面性质，空间图形向平面图形的转化（降维法）。
2. 核心方法：利用公共弦中点建立平面四边形，结合勾股定理及其逆定理求解。
3. 避坑指南：必须先证明 $O,M,P,N$ 四点共面（都垂直于 $AB$），才能在同一平面内分析 $△OPM$ 和 $△OPN$ 的角度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于球的截面性质与立体几何综合计算题。
2. 结论推广：若两相等截面圆相交于弦 $AB$，球心到截面距离为 $d$，球半径为 $R$，弦长为 $2a$，则圆心距 $MN=2\sqrt{\frac{d^2(R^2-d^2-a^2)}{R^2-a^2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷文-16 填-外接球与三角形面积
• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集
• 2011-上海卷理-08 填-三角函数