2010-天津卷文-10 单-分段函数值域

本题导读

考查分段函数值域。分段点为 $x=-1,2$：两段值域分别为 $(2,+\infty )$ 与 $\left[-\frac{9}{4},0\right]$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 设函数 $g(x)=x^2-2$ ($x\in \mathbf{R}$)，$f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x)+x+4,& x<g(x),\\ g(x)-x,& x⩾g(x),\end{array}$ 则 $f(x)$ 的值域是()

A. $\left[-\frac{9}{4},0\right]\cup (1,+\infty )$　　B. $[0,+\infty )$　　C. $\left[-\frac{9}{4},+\infty \right)$　　D. $\left[-\frac{9}{4},0\right]\cup (2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x<g(x)⟺x^2-x-2>0⟺x<-1$ 或 $x>2$。
2. 当 $x<-1$ 或 $x>2$ 时 $f(x)=x^2+x+2$，值域 $(2,+\infty )$。
3. 当 $-1⩽x⩽2$ 时 $f(x)=x^2-x-2={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}$，值域 $\left[-\frac{9}{4},0\right]$。
4. 并集为 $\left[-\frac{9}{4},0\right]\cup (2,+\infty )$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

先确定分段区间： $x<g(x)⟺x<x^2-2⟺x^2-x-2>0⟺x<-1\text{ 或 }x>2.$ ①当 $x<-1$ 或 $x>2$ 时， $f(x)=x^2+x+2={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}.$ 在 $(-\infty ,-1)$ 上递减，$f(x)>f(-1)=2$； 在 $(2,+\infty )$ 上递增，$f(x)>f(2)=8$。 此段值域为 $(2,+\infty )$。 ②当 $-1⩽x⩽2$ 时， $f(x)=x^2-x-2={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{9}{4},$ 最小值 $-\frac{9}{4}$（$x=\frac{1}{2}$），端点 $f(-1)=f(2)=0$， 此段值域为 $\left[-\frac{9}{4},0\right]$。 综上值域为 $\left[-\frac{9}{4},0\right]\cup (2,+\infty )$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的值域

核心方法：先解不等式定分段区间，再逐段求二次函数值域取并

避坑指南：分段条件是 $x<g(x)$ 而不是 $x<0$，要解 $x^2-x-2>0$ 得 $x<-1$ 或 $x>2$；$(2,+\infty )$ 一段的端点取不到，$(1,+\infty )$ 是常见错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数值域 $=$ 各段值域的并集，端点开闭逐段核对。

结论推广：比较 $x$ 与 $g(x)$ 的大小本质是解二次不等式，抛物线图象最直观。

方法推广：画图象（两段抛物线截取）可同时验证值域与单调性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2011-福建卷文-08 单-分段函数方程
• 2012-福建卷文-09 单-分段函数复合求值
• 2013-北京卷文-13 填-分段函数值域