2010-天津卷理-14 填-几何证明

本题导读

本题考查圆内接四边形的性质与相似三角形对应边成比例计算。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(理)） 如图，四边形 $ABCD$ 是圆 $O$ 的内接四边形，延长 $AB$ 和 $DC$ 相交于点 $P$，若 $\frac{PB}{PA}=\frac{1}{2}$，$\frac{PC}{PD}=\frac{1}{3}$，则 $\frac{BC}{AD}$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用圆内接四边性质：圆内接四边形对角互补 $⟹$ 外角等于内对角 $⟹\angle PBC=\angle D,\angle PCB=\angle A$。
2. 判定三角形相似：$△PBC\sim △PDA$。
3. 利用相似比与割线定理计算：

• 相似比为 $\frac{BC}{AD}=\frac{PB}{PD}=\frac{PC}{PA}$；
• 由割线定理 $PB\cdot PA=PC\cdot PD$，结合条件求出比例。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{\sqrt{6}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：证明三角形相似 因为四边形 $ABCD$ 为圆 $O$ 的内接四边形， 所以内对角相等：$\angle PBC=\angle D$，$\angle PCB=\angle A$。 又因为 $\angle P$ 为公共角， 所以： $△PBC\sim △PDA$

第二步：利用相似比列式 由相似三角形对应边成比例： $\frac{BC}{AD}=\frac{PB}{PD}=\frac{PC}{PA}$

第三步：求比例值 已知 $\frac{PB}{PA}=\frac{1}{2}⟹PA=2PB$， 且 $\frac{PC}{PD}=\frac{1}{3}⟹PD=3PC$。

由圆的割线定理 $PB\cdot PA=PC\cdot PD$： $PB\cdot (2PB)=PC\cdot (3PC)⟹2P{B}^2=3P{C}^2⟹{\left(\frac{PB}{PC}\right)}^2=\frac{3}{2}⟹\frac{PB}{PC}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

所以： $\frac{BC}{AD}=\frac{PB}{PD}=\frac{PB}{3PC}=\frac{1}{3}\times \frac{PB}{PC}=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}$

故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆内接四边形性质（外角等于内对角）、割线定理与相似三角形对应边成比例。
2. 核心方法：证明 $△PBC\sim △PDA\to$ 由割线定理求 $PB/PC\to$ 求出对应边比值。
3. 避坑指南：注意相似三角形顶点的对应关系，$△PBC$ 对应的是 $△PDA$（而不是 $△PAD$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：平面几何选讲圆幂定理与相似三角形结合题。
2. 结论推广：对圆割线交于 $P$ 点，对应弦比值为 $\frac{BC}{AD}=\sqrt{\frac{PB\cdot PC}{PA\cdot PD}}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集
• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-上海卷理-17 单-三角