2010-新课标卷理-23 解-参数方程

本题导读

本题考查参数方程的基本概念及轨迹方程的求解。第一问消去参数转化为直角坐标方程求交点；第二问利用动点几何关系或相关点法求出点 $P$ 的轨迹方程。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 已知直线 $C_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\cos \alpha \\ y=t\sin \alpha \end{array}(t\text{ 为参数})$，圆 $C_2:\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}(\theta \text{ 为参数})$.

(1) 当 $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点坐标；

(2) 过坐标原点 $O$ 作 $C_1$ 的垂线，垂足为 $A$，$P$ 为 $OA$ 的中点，当 $\alpha$ 变化时，求点 $P$ 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：将圆 $C_2$ 的参数方程化为普通方程 $x^2+y^2=1$。当 $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时，将直线 $C_1$ 的参数方程代入圆的方程求出参数 $t$，进而得出交点坐标。
2. 第 (2) 问：消去参数 $t$ 可得直线 $C_1$ 的普通方程为 $(x-1)\sin \alpha -y\cos \alpha =0$。求出过原点 $O$ 垂直于 $C_1$ 的直线 $OA$ 的方程，联立求出垂足 $A$ 的坐标（用 $\alpha$ 表示），再利用中点坐标公式求出 $P$ 的坐标，得到以 $\alpha$ 为参数的方程，并化为普通方程识别曲线类型。

✅【答案】

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（1）当𝛼=π3时，直线𝐶1上的点为⎛⎜⎝

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点坐标

消去参数 $\theta$，圆 $C_2$ 的普通方程为： $x^2+y^2=1$

当 $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时，直线 $C_1$ 的参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$

将 $C_1$ 的参数方程代入 $C_2$ 的普通方程 $x^2+y^2=1$ 中： ${\left(1+\frac{1}{2}t\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)}^2=1$ $1+t+\frac{1}{4}{t}^2+\frac{3}{4}{t}^2=1⟹t^2+t=0$

解得 $t_1=0$ 或 $t_2=-1$。

• 当 $t=0$ 时，代入得 $x=1,y=0$；
• 当 $t=-1$ 时，代入得 $x=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

故 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点坐标为 $(1,0)$ 和 $\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

---

(2) 当 $\alpha$ 变化时，求点 $P$ 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线

消去参数 $t$，直线 $C_1$ 的普通方程为： $y\cos \alpha -(x-1)\sin \alpha =0⟹x\sin \alpha -y\cos \alpha -\sin \alpha =0\text{(1)}$

过原点 $O(0,0)$ 且垂直于直线 $C_1$ 的直线 $OA$ 的方程为： $x\cos \alpha +y\sin \alpha =0\text{(2)}$

联立 ① ② 式求垂足 $A$ 的坐标： 由 ② 得 $y=-x\cot \alpha$（当 $\sin \alpha \ne 0$ 时），代入 ① 得： $x\sin \alpha -(-x\cot \alpha )\cos \alpha -\sin \alpha =0⟹x\left(\sin \alpha +\frac{{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha }\right)=\sin \alpha$ $\frac{x}{\sin \alpha }=\sin \alpha ⟹x={\sin }^2\alpha$

代入 ② 得 $y=-\sin \alpha \cos \alpha$。 （注：当 $\sin \alpha =0$ 时，$A(0,0)$ 亦满足上式。）

设 $P(x,y)$ 为 $OA$ 的中点，由中点坐标公式： $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{4}\\ y=-\frac{1}{2}\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{\sin 2\alpha }{4}\end{array}$

以 $\varphi =2\alpha$ 为参数，得点 $P$ 的参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cos \varphi \\ y=-\frac{1}{4}\sin \varphi \end{array}(\varphi \text{ 为参数})$

化为普通方程： ${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2+y^2={\left(-\frac{1}{4}\cos \varphi \right)}^2+{\left(-\frac{1}{4}\sin \varphi \right)}^2=\frac{1}{16}$

故点 $P$ 的轨迹是以 $\left(\frac{1}{4},0\right)$ 为圆心，$\frac{1}{4}$ 为半径的圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程与直角坐标方程互化、直线垂直求垂足坐标、动点轨迹方程求解。
2. 核心方法：

• 第一问代入法：将直线的参数方程代入圆的普通方程解 $t$；
• 第二问几何法/相关点法：通过降幂公式 ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$ 将轨迹转化为标准圆的参数方程。

3. 避坑指南：注意圆的参数方程标准形式 $\{\begin{array}{l}x=x_0+r\cos \varphi \\ y=y_0+r\sin \varphi \end{array}$，在第二问写出参数方程后，必须明确指出它是“圆”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查坐标系与参数方程选考模块中动点轨迹的基本求法。
2. 结论推广：过定点 $M(1,0)$ 的动直线与过原点垂直于它的直线的交点 $A$ 的轨迹是以 $OM$ 为直径的圆，其中点 $P$ 的轨迹是以 $\frac{1}{2}OM$ 为直径的圆（阿波罗尼斯圆思想及直角三角形斜边中点性质）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-05 填-参数方程
• 2011-广东卷文-14 填-参数方程交点
• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标