2010-江西卷文-13 填-向量投影定义

本题导读

考查向量投影。$|b|\cos 60^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1$。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 已知向量 $a$，$b$ 满足 $|b|=2$，$a$ 与 $b$ 的夹角为 $60^{\circ }$，则 $b$ 在 $a$ 上的投影是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 投影定义：$b$ 在 $a$ 上的投影 $=|b|\cos ⟨a,b⟩$。
2. 代入 $|b|=2$，夹角 $60^{\circ }$：$2\times \frac{1}{2}=1$。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

由投影的定义，$b$ 在 $a$ 方向上的投影等于 $b$ 的模乘以两向量夹角的余弦，即 $|b|\cos ⟨a,b⟩=2\times \cos 60^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1.$ 故答案为 $1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量投影的定义

核心方法：$b$ 在 $a$ 上的投影 $=|b|\cos ⟨a,b⟩$

避坑指南：投影是数量可正可负，本题主夹角 $60^{\circ }$ 得正值；公式里是 $|b|$（被投影向量的模）乘夹角余弦，别写成 $|a|$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：投影向量与投影数量在新旧教材中表述有别，高考以数量（符号值）为常态。

结论推广：$\mathbf{b}$ 在 $\mathbf{a}$ 上的投影 $=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|}$，与模夹角形式等价。

方法推广：夹角为钝角时投影为负，“投影是非负数”是典型误区。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2009-辽宁卷文-04 单-向量模与夹角