2010-江西卷理-07 单-解三角形

本题导读

考查等腰直角三角形几何性质与两角差的正切公式的综合应用，建系法可实现快速求解。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） $E,F$ 是等腰直角 $△ABC$ 斜边 $AB$ 上的三等分点，则 $\tan \angle ECF=$()

A. $\frac{16}{27}$　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立平面直角坐标系，设直角顶点 $C$ 为原点，直角边在坐标轴上。
2. 确定点 $A,B,E,F,C$ 的坐标，求出直线 $CE$ 与 $CF$ 的斜率。
3. 利用两角差的正切公式 $\tan \angle ECF=\left|\frac{k_{CE}-k_{CF}}{1+k_{CE}{k}_{CF}}\right|$ 求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 以直角顶点 $C$ 为坐标原点，边 $CA,CB$ 分别为 $x$ 轴、$y$ 轴建立平面直角坐标系。 设 $CA=CB=3$，则 $C(0,0)$，$A(3,0)$，$B(0,3)$。

因为 $E,F$ 是斜边 $AB$ 的三等分点，由定比分点坐标公式得： $E=\left(\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 0,\frac{2}{3}\times 0+\frac{1}{3}\times 3\right)=(2,1)$ $F=\left(\frac{1}{3}\times 3+\frac{2}{3}\times 0,\frac{1}{3}\times 0+\frac{2}{3}\times 3\right)=(1,2)$

因此直线 $CE$ 的斜率 $k_{CE}=\frac{1-0}{2-0}=\frac{1}{2}$。 直线 $CF$ 的斜率 $k_{CF}=\frac{2-0}{1-0}=2$。

由两角差的正切公式得： $\tan \angle ECF=\left|\frac{k_{CF}-k_{CE}}{1+k_{CF}{k}_{CE}}\right|=\left|\frac{2-\frac{1}{2}}{1+2\times \frac{1}{2}}\right|=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$

正确选项：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解析法处理平面几何问题、两角差的正切公式。
2. 核心方法：建系坐标法（设特殊值 $CA=CB=3$ 简化计算）。
3. 避坑指南：利用余弦定理亦可求解，但计算量相对较大；建立直角坐标系是最快最不易直观出错的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于初等几何中三等分角与正切公式结合的经典模型。
2. 结论推广：若 $E,F$ 是等腰直角三角形斜边 $n$ 等分点（关于中点对称的两个对称点），设 $E,F$ 到斜边两端分比为 $1:k$，则 $\tan \angle ECF=\frac{2k}{k^2+1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-15 解-向量与解三角形
• 2013-陕西卷文-18 解-向量与三角最值
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程