2010-浙江卷文-12 填-三角函数周期

本题导读

考查降幂与周期。$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \left(4x-\frac{\pi }{2}\right)$，$T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 函数 $f(x)={\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的最小正周期是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 降幂：${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$，取 $\theta =2x-\frac{\pi }{4}$。
2. $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \left(4x-\frac{\pi }{2}\right)$。
3. $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由降幂公式： $f(x)={\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1-\cos \left(4x-\frac{\pi }{2}\right)}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \left(4x-\frac{\pi }{2}\right),$ 最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的周期

核心方法：降幂化为单角余弦，$T=\frac{2\pi }{\omega }$

避坑指南：${\sin }^2(2x-\frac{\pi }{4})$ 的 $\omega$ 是 $2$，降幂后变为 $4x$，周期 $\frac{\pi }{2}$ 不是 $\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：降幂公式 ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$ 使角加倍。

结论推广：最小正周期只看化简后的角频率，与相位无关。

方法推广：也可配方写成 $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin 4x$ 验证周期不变。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-01 填-三角函数周期
• 2013-江苏卷-01 填-正弦型函数的周期性
• 2014-新课标I卷文-07 单-三角函数周期
• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期