2014-新课标I卷文-07 单-三角函数周期

本题导读

① $\cos |2x|=\cos 2x$ 周期 $\pi$；② $|\cos x|$ 周期 $\pi$；③ 周期 $\pi$；④ 周期 $\frac{\pi }{2}$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 在函数① $y=\cos |2x|$，② $y=|\cos x|$，③ $y=\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，④ $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ 中，最小正周期为 $\pi$ 的所有函数为()

A. ②④　　　　　　B. ①③④　　　　　　C. ①②③　　　　　　D. ①③

🔍【思路分析】

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① $\cos |2x|=\cos 2x$ 周期 $\pi$；② $|\cos x|$ 周期 $\pi$；③ 周期 $\pi$；④ 周期 $\frac{\pi }{2}$。即①②③，选 C。（合集误印 A）

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

① $\cos |2x|=\cos 2x$（余弦为偶函数），周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

② $y=|\cos x|$ 是 $\cos x$ 图象”下半部分翻折上来”，周期减半为 $\pi$。

③ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

④ $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的周期 $T=\frac{\pi }{2}$，不符合。

最小正周期为 $\pi$ 的是①②③，选 C。（合集答案页误印 A，精品解析答案键为 C。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的最小正周期；绝对值变换与复合

2. 核心方法：周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$（正切为 $\frac{\pi }{\omega }$）+ 偶函数化简 + 绝对值减半

3. 避坑指南：①易误判为”绝对值使周期减半”：绝对值在角上且余弦是偶函数，直接化为 $\cos 2x$，周期不变；“减半”规律只适用于②这类整体取绝对值的情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角周期多选判断（doc 考点定位：三角函数的图象与性质），2014 年新课标Ⅰ理第 6 题、2015 年新课标Ⅰ文第 8 题同族。

2. 结论推广: 一般地，$|\sin x|$、$|\cos x|$、$|\tan x|$ 的周期都是原函数的一半；$\cos |\omega x|$ 型（绝对值在角上）周期不变。

3. 方法推广: 判断周期先”化简解析式”（奇偶性、绝对值位置），再套周期公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象
• 2015-新课标I卷文-08 单-三角函数图象