2010-浙江卷文-17 填-古典概型与向量

本题导读

考查古典概型与向量。$G$ 共 $16$ 个等可能点，平行四边形内部（含边界）对应 $|s|+|t|⩽1$ 的仅 $4$ 个，落在外部的概率为 $\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，$O$ 是 $AC$ 与 $BD$ 的交点，$P$，$Q$，$M$，$N$ 分别是线段 $OA$，$OB$，$OC$，$OD$ 的中点. 在 $A$，$P$，$M$，$C$ 中任取一点记为 $E$，在 $B$，$Q$，$N$，$D$ 中任取一点记为 $F$. 设 $G$ 为满足向量 $\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}$ 的点，则在上述的点 $G$ 组成的集合中的点，落在平行四边形 $ABCD$ 外（不含边界）的概率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{u}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{v}$，则 $\overrightarrow{OC}=-\mathbf{u}$，$\overrightarrow{OD}=-\mathbf{v}$。
2. $\overrightarrow{OE}\in \left\{\mathbf{u},\frac{\mathbf{u}}{2},-\frac{\mathbf{u}}{2},-\mathbf{u}\right\}$，$\overrightarrow{OF}\in \left\{\mathbf{v},\frac{\mathbf{v}}{2},-\frac{\mathbf{v}}{2},-\mathbf{v}\right\}$。
3. $G$ 共 $4\times 4=16$ 个等可能的点，坐标 $(s,t)$ 中 $s,t\in \left\{1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1\right\}$。
4. 平行四边形 $ABCD$ 对应区域 $|s|+|t|⩽1$，内部（不含边界）之外即 $|s|+|t|>1$。
5. $|s|+|t|=1$ 的只有 $s,t$ 同取 $\pm \frac{1}{2}$ 的 $4$ 个点（在边界上），其余 $12$ 个点在外部。
6. $P=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$。

✅【答案】

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$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{u}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{v}$，则 $\overrightarrow{OE}\in \left\{\mathbf{u},\frac{1}{2}\mathbf{u},-\frac{1}{2}\mathbf{u},-\mathbf{u}\right\},\overrightarrow{OF}\in \left\{\mathbf{v},\frac{1}{2}\mathbf{v},-\frac{1}{2}\mathbf{v},-\mathbf{v}\right\},$ $E$，$F$ 各有 $4$ 种取法，共 $16$ 种等可能结果，对应 $16$ 个点 $G$。 以 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 为基底，平行四边形 $ABCD$ 的顶点为 $\pm \mathbf{u},\pm \mathbf{v}$， 其内部（含边界）对应点集 $\{(s,t):|s|+|t|⩽1\}$。 $G$ 的坐标满足 $s,t\in \left\{1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1\right\}$： $|s|+|t|=1$ 当且仅当 $|s|=|t|=\frac{1}{2}$，共 $4$ 个点（落在边界上，不计入外部）； 其余 $16-4=12$ 个点满足 $|s|+|t|⩾\frac{3}{2}>1$，落在平行四边形外。 故所求概率为 $P=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与向量运算

核心方法：基底化：$G$ 对应 $4\times 4$ 格点，区域条件 $|s|+|t|>1$

避坑指南：落在”形外（不含边界）“：边界 $|s|+|t|=1$ 上的 $4$ 个点要排除但不计入有利结果；总结果数 $16$ 中分母别误用 $12$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平行四边形区域内的点用基底坐标 $(s,t)$ 刻画：$|s|+|t|⩽1$。

结论推广：几何计数型概率：代数化后按格点计数，避免画图数错。

方法推广：古典概型两步走：定等可能结果总数，数有利结果数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-17 填-古典概型
• 2011-北京卷文-14 填-平行四边形整点
• 2011-浙江卷文-08 单-古典概型至少
• 2009-安徽卷文-13 填-古典概型