2011-广东卷文-04 单-函数定义域

本题导读

本题考查函数的定义域，以及对数函数的约束。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}+\lg (1+x)$ 的定义域是 ()

A. $(-\infty ,-1)$　　　　B. $(1,+\infty )$　　　　C. $(-1,1)\cup (1,+\infty )$　　　　D. $(-\infty ,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：列两条约束 $x>-1$、$x\ne 1$
2. 步骤2：取交集

✅【答案】

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C$(-1,1)\cup (1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

$\lg (1+x)$ 有意义要求真数 $1+x>0$，即 $x>-1$；$\frac{1}{1-x}$ 有意义要求 $1-x\ne 0$，即 $x\ne 1$。

两条件同时成立：$x>-1$ 且 $x\ne 1$，即 $(-1,1)\cup (1,+\infty )$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定义域的约束条件（真数大于零、分母非零）；区间交运算

核心方法：逐项列约束再取交，含偶次根、对数、分式的项各管一条

避坑指南：端点 $-1$ 取不到（真数为 $0$ 的点）、$1$ 取不到（分母为 $0$），都要开区间；只顾对数漏掉分母约束是本题最常见错误（错选 A 或 B 类）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定义域题与 2012-山东卷文-03、2013-安徽卷文-11、2013-广东卷文-02 同族。

结论推广：推广：$f(x)=\frac{1}{1-x}+\lg (1+x)$ 型复合定义域 = 各项约束解集之交；若再含 $\sqrt{g(x)}$，补 $g(x)⩾0$ 即可。

方法推广：定义域小题：按”根、对、分”三类逐项列条件，取交后用数轴走一遍防漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-03 单-函数定义域
• 2013-安徽卷文-11 填-函数定义域
• 2013-广东卷文-02 单-函数定义域