2010-湖北卷理-05 单-三角

本题导读

本题考查平面向量线性运算的代数化简及三角形重心的向量性质应用。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 已知 $△ABC$ 和点 $M$ 满足 $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=0$. 若存在实数 $m$ 使得 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AM}$ 成立，则 $m=$ ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

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1. 利用向量加减法拆项将 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 用以 $M$ 为起点的向量表示：$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}$。
2. 结合已知条件 $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MA}$ 进行代换化简，解出 $m$。

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=0$，所以 $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MA}$。 将等式左边展开得： $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA})+(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA})=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})-2\overrightarrow{MA}$ 代入 $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MA}$： $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{AM}$ 对比已知等式 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AM}$，可得 $m=3$。 故选 B.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量线性表示、三角形重心的向量表示（若 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$，则 $G$ 为重心）。
2. 核心方法：统一向量起点法（将所有向量化为以点 $M$ 为起点的向量）。
3. 避坑指南：注意向量的方向，$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM}$，符号不要混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修四第二章《平面向量》课后练习题。
2. 结论推广：对任意 $△ABC$，若 $M$ 为重心，$D$ 为 $BC$ 中点，则 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AM}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-15 解-向量与解三角形
• 2013-陕西卷文-18 解-向量与三角最值
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程