2010-湖南卷文-19 解-椭圆定义与等比应用

本题导读

考查椭圆定义与数列应用。$|PA|+|PB|⩽10$ 即以 $A,B$ 为焦点的椭圆内部，$c=4,a=5,b=3$，边界方程 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$；点 $A$ 到边界线距离 $6.2=0.2(2^n-1)$ 得 $n=5$。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 $8\mathrm{km}$ 的 $A$，$B$ 两点各建一个考察基地. 视冰川面为平面形，以过 $A$，$B$ 两点的直线为 $x$ 轴，线段 $AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（下图）. 考察范围到 $A$，$B$ 两点的距离之和不超过 $10\mathrm{km}$ 的区域.

(1)求考察区域边界曲线的方程；

(2)如图所示，设线段 $P_1{P}_2$ 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 $0.2\mathrm{km}$，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍. 问：经过多长时间，点 $A$ 恰好在冰川边界线上？

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）“到两定点距离之和为定值”即椭圆第一定义，定出 $c=4$、$a=5$。 2.（2）由 $P_1,P_2$ 坐标写边界线方程，求 $A$ 到该直线的距离 $d$。 3. 每年移动量成等比数列，求和 $s_n=0.2(2^n-1)$，令 $s_n=d$ 解 $n$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$

(2) 经过 5 年

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $A(-4,0)$，$B(4,0)$，知椭圆的两个焦点为 $A$，$B$，焦距的一半 $c=4$. 考察区域边界上任一点 $P(x,y)$ 满足 $|PA|+|PB|=10$，所以椭圆的长半轴 $a=5$. 于是 $b^2=a^2-c^2=25-16=9$，故考察区域边界曲线的方程为 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$ （2）由 $P_1(-5,9)$，$P_2(-14,-3)$，得边界线 $P_1{P}_2$ 的斜率为 $\frac{9-(-3)}{-5-(-14)}=\frac{4}{3},$ 故其方程为 $y-9=\frac{4}{3}(x+5)$，即 $4x-3y+47=0$. 点 $A(-4,0)$ 到该直线的距离为 $d=\frac{|4\times (-4)-3\times 0+47|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{31}{5}=6.2(\mathrm{km}).$ 设经过 $n$ 年边界线移动的总距离为 $s_n$，则每年移动量 $0.2,0.4,0.8,\cdots$ 构成等比数列， $s_n=0.2(1+2+2^2+\cdots +2^{n-1})=0.2(2^n-1).$ 当点 $A$ 恰好在冰川边界线上时，$s_n=d$，所以 $0.2(2^n-1)=6.2,即2^n=32,$ 解得 $n=5$. 即经过 5 年，点 $A$ 恰好在冰川边界线上.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆第一定义与等比数列应用

核心方法：$|PA|+|PB|=10$ 定 $a=5$、$c=4$、$b=3$；等比求和 $s_n=0.2(2^n-1)=6.2$ 解得 $n=5$

避坑指南：实际背景里”距离之和不超过 10”的区域是椭圆及其内部，边界才是椭圆本身；第二问 $d$ 的计算要把 $4^2+(-3{)}^2$ 开根得 5，别漏符号处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解析几何与实际应用结合：先翻译几何条件（定义），再做代数计算。

结论推广：椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$；等比求和 $S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$（本题 $q=2$ 化简为 $2^n-1$）。

方法推广：应用题最后必须回答”问什么”：本题问经过几年，答”5 年”而非只写 $n=5$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹
• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 2009-山东卷文-20 解-等比数列求和
• 2009-新课标卷文-15 填-等比数列求和