2010-湖南卷理-04 单-三角

本题导读

本题考查平面向量数量积的计算及直角三角形中的几何应用。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$AC=4$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ 等于 ()

A. $-16$　　　　　　　B. $-8$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $16$

🔍【思路分析】

破题导航

方法一：利用向量拆分 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ 代入计算。 方法二：利用向量数量积的几何意义（投影）直接计算。

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

解析（拆分法）： 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，故 $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{CB}⟹\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=0$。 因为 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$，所以： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AC}{|}^2+\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{AC}=4^2+0=16$ 故选 D.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积计算与直角三角形垂直条件。
2. 核心方法：向量分解法、投影法。
3. 避坑指南：注意向量夹角的定义，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 起点相同，夹角即为 $\angle A$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修四第二章《平面向量》课后习题。
2. 结论推广：对任意 $\angle C=90^{\circ }$ 的直角三角形，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=A{C}^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-15 解-向量与解三角形
• 2013-陕西卷文-18 解-向量与三角最值
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程