2010-福建卷文-18 解-向量垂直古典概型

本题导读

考查向量垂直与古典概型。$n=(m-1{)}^2$，合题的有 $(2,1)$、$(3,4)$，$P=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 设平面向量 ${\mathbf{a}}_m=(m,1)$，${\mathbf{b}}_n=(2,n)$，其中 $m$，$n\in \{1,2,3,4\}$.

(1) 请列出有序数组 $(m,n)$ 的所有可能结果；

(2) 记”使得 ${\mathbf{a}}_m\perp ({\mathbf{a}}_m-{\mathbf{b}}_n)$ 成立”的 $(m,n)$ 为事件 $A$，求事件 $A$ 发生的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $m$、$n$ 各取 $1,2,3,4$，共 $4\times 4=16$ 个等可能结果。
2. ${\mathbf{a}}_m-{\mathbf{b}}_n=(m-2,1-n)$。
3. 垂直：$m(m-2)+(1-n)=0$，即 $n=(m-1{)}^2$。
4. 检验：$m=1$ 给 $n=0$ 舍；$m=2$ 给 $n=1$；$m=3$ 给 $n=4$；$m=4$ 给 $n=9$ 舍。
5. 有利 $2$ 个：$(2,1)$、$(3,4)$，$PA.=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。

✅【答案】

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(1) 共 $16$ 个结果

(2) $PA.=\frac{1}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $m$，$n$ 均可取 $1$，$2$，$3$，$4$，所以有序数组 $(m,n)$ 的所有可能结果为 $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),$ $(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),$ 共 $4\times 4=16$ 个. (2) ${\mathbf{a}}_m-{\mathbf{b}}_n=(m-2,1-n)$. 由垂直条件， ${\mathbf{a}}_m\cdot ({\mathbf{a}}_m-{\mathbf{b}}_n)=m(m-2)+1-n=0,\text{即}n=(m-1{)}^2.$ 当 $m=1$ 时，$n=0$ 不合题意；当 $m=2$ 时，$n=1$；当 $m=3$ 时，$n=4$；当 $m=4$ 时，$n=9$ 不合题意. 因此事件 $A$ 包含 $(2,1)$，$(3,4)$ 两个结果. 样本空间共有 $16$ 个等可能结果，所以 $PA.=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直与古典概型

核心方法：数量积为零化为 $n=(m-1{)}^2$，对 $m$ 逐一检验计数

避坑指南：$m=1$ 时 $n=0$、$m=4$ 时 $n=9$ 都超出 $\{1,2,3,4\}$，必须舍去；样本空间是 $4\times 4=16$ 个有序数组，不是 $8$ 个。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量条件 + 古典概型的组合：先代数化条件，再在有限样本空间里计数。

结论推广：${\mathbf{a}}_m\perp ({\mathbf{a}}_m-{\mathbf{b}}_n)⟺{\mathbf{a}}_m\cdot {\mathbf{b}}_m=|{\mathbf{a}}_m{|}^2$ 的展开要逐项。

方法推广：列举类概率题”列出所有结果”本身就是第一问，答案可以复用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-13 填-古典概型
• 2009-江苏卷-05 填-古典概型
• 2009-浙江卷文-17 填-古典概型
• 2011-新课标卷文-06 单-古典概型