2010-辽宁卷理-22 解-几何证明

本题导读

本题考查平面几何选讲模块中圆周角定理与相似三角形的综合应用。第一问利用圆周角相等与角平分线性质证明两三角形相似；第二问利用相似所得的线段比例代入面积公式，从而求解内角 $\angle BAC$ 的大小。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理22）如图，$\Delta ABC$ 的角平分线 $AD$ 的延长线交它的外接圆于点 $E$.

(1)证明：$\Delta ABE\sim \Delta ADC$；

(2)若 $\Delta ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}AD\cdot AE$，求 $\angle BAC$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第（1）问：由 $AD$ 为 $\angle BAC$ 的平分线可得 $\angle BAE=\angle CAD$；由同弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 所对的圆周角相等可得 $\angle AEB=\angle ACD$。由此判定两三角形相似。
2. 第（2）问：由相似三角形比例关系得 $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}⟹AB\cdot AC=AD\cdot AE$。将已知条件代入三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin \angle BAC$，得出 $\sin \angle BAC=1$，求出角度。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）证明： 因为 $AD$ 是 $\Delta ABC$ 的角平分线， 所以 $\angle BAE=\angle CAD$。

又因为 $\angle AEB$ 与 $\angle ACD$ 均为弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 所对的圆周角， 根据圆周角定理，有： $\angle AEB=\angle ACD$

由“两角对应相等的两个三角形相似”可得： $\Delta ABE\sim \Delta ADC$

---

（2）解： 由（1）知 $\Delta ABE\sim \Delta ADC$，其对应边成比例： $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$

交叉相乘可得： $AB\cdot AC=AD\cdot AE$

根据三角形面积公式，$\Delta ABC$ 的面积可表示为： $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin \angle BAC$

将 $AB\cdot AC=AD\cdot AE$ 代入上式得： $S=\frac{1}{2}AD\cdot AE\sin \angle BAC$

又已知条件给出： $S=\frac{1}{2}AD\cdot AE$

对比两式可得： $\sin \angle BAC=1$

在 $\Delta ABC$ 中，因为 $0<\angle BAC<\pi$，所以： $\angle BAC=\frac{\pi }{2}(\text{或 }90^{\circ })$

故 $\angle BAC$ 的大小为 $90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆周角定理、相似三角形判定定理与对应边比例关系、三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$。
2. 核心方法：几何线段积与三角函数面积公式相结合，消去未知线段长求特定内角。
3. 避坑指南：证明相似时注意字母对应顺序，找对同弧对应的圆周角（$\angle AEB=\angle ACD$），切勿误将 $\angle ABE$ 与 $\angle ADC$ 直接混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2010 年辽宁高考理科第 22 题（选修 4-1 平面几何选讲），考查角平分线与外接圆相交的经典几何构型（托勒密定理与角平分线长公式的推导背景）。
2. 结论推广：在任意 $\Delta ABC$ 中，若 $AD$ 为内角平分线并延长交外接圆于 $E$，则恒有 $AB\cdot AC=AD\cdot AE=A{D}^2+BD\cdot DC$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-湖南卷文-17 解-正弦定理与三角最值