2009-福建卷文-04 单-双曲线离心率

本题导读

考查双曲线离心率。分母 $3^2=9$，$c^2=a^2+9$，$e=2$ 给出 $4a^2=a^2+9$，$a=\sqrt{3}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$（$a>0$）的离心率为 $2$，则 $a$ 等于 ()

A. $2$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 虚半轴长 $b=3$，故 $c^2=a^2+b^2=a^2+9$。
2. $e=\frac{c}{a}=2$，即 $c=2a$，两边平方得 $4a^2=a^2+9$。
3. 解得 $a^2=3$，$a>0$ 故 $a=\sqrt{3}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的实半轴长为 $a$，虚半轴长为 $3$，半焦距满足 $c^2=a^2+9$。 由离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，得 $c=2a$，从而 $4a^2=a^2+9$，即 $a^2=3$。 因为 $a>0$，所以 $a=\sqrt{3}$。故选 B （注：本题以原卷为准，分母为 $3^2=9$。部分网络资料将题干误印为 $\frac{y^2}{3}$ 并给出答案 D， 其解析”解得 $a=1$ 或 $a=3$“在数学上不成立；合集答案书按 $b=3$ 解得 $a=\sqrt{3}$ 选 B，与原卷一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率

核心方法：$c^2=a^2+b^2$ 与 $e=\frac{c}{a}$ 联立

避坑指南：分母 $3^2$ 的虚半轴是 $b=3$ 而非 $\sqrt{3}$：$e=2$ 给出 $4a^2=a^2+9$，$a=\sqrt{3}$；若误把分母当 $3$ 会错解成 $a=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：离心率是圆锥曲线小题的高频考点。

结论推广：双曲线 $e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$，椭圆 $e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$，一加一减方向别反。

方法推广：解题前先把 $a$、$b$、$c$ 三个量与方程分母一一对应写清楚。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率
• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-江苏卷-13 填-椭圆离心率