2010-重庆卷理-12 填-集合

本题导读

本题综合考查集合的补集运算和一元二次方程的解。核心在于由补集逆推原集合，并利用方程的根求解参数。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 设 $U=\{0,1,2,3\}$，$A=\{x\in U\mid x^2+mx=0\}$，若 ${\complement }_{U}A=\{1,2\}$，则实数 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由全集 $U$ 以及 ${\complement }_{U}A$ 求出集合 $A$。

2. 根据集合 $A$ 的元素特征，将非零元素代入方程 $x^2+mx=0$ 中求解 $m$。

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $U=\{0,1,2,3\}$，${\complement }_{U}A=\{1,2\}$， 所以 $A=U\setminus ({\complement }_{U}A)=\{0,3\}$。 即 $x=3$ 是方程 $x^2+mx=0$ 的根。 代入 $x=3$ 得：$3^2+3m=0⟹9+3m=0⟹m=-3$。 验证：当 $m=-3$ 时，方程为 $x^2-3x=0⟹x(x-3)=0$，解得 $x=0$ 或 $x=3$，此时 $A=\{0,3\}$，符合题意。 答案：$-3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：补集概念 ${\complement }_{U}A=\{x\in U\mid x\notin A\}$。

2. 核心方法：逆向思维（由补集求原集）。

3. 避坑指南：求出 $m$ 后需回代验证集合 $A$ 的元素是否完全在全集 $U$ 内且没有多余根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中集合基本运算与方程解集的交汇题。

2. 结论推广：若已知 ${\complement }_{U}A$，则 $A=U\cap ({\complement }_{U}A{)}^c$，方程在有限全集内的解集完全由集合的消去法确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷理-02 填-集合
• 2011-北京卷文-01 单-集合补集区间