2010-重庆卷理-14 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的几何性质。核心在于利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离，并通过向量共线带来的比例关系，借助中位线几何模型快速破题。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 已知以 $F$ 为焦点的抛物线 $y^2=4x$ 上的两点 $A,B$ 满足 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，则弦 $AB$ 的中点到准线的距离为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由抛物线方程确定焦点 $F(1,0)$ 及准线方程 $x=-1$。

2. 根据向量共线 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，可知 $A,F,B$ 三点共线，且 $F$ 分有向线段 $AB$ 的比为 3。

3. 利用抛物线定义，将 $A,B$ 到准线的距离转化为 $x_1+1$ 与 $x_2+1$，通过代数或梯形几何中位线模型求解中点横坐标，即可得到到准线的距离。

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$\frac{8}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 的 $p=2$，故焦点 $F(1,0)$，准线方程为 $x=-1$。 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。由抛物线定义， $A,B$ 到准线的距离分别为 $d_A=x_1+1$，$d_B=x_2+1$。 因为 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$， 从横坐标来看：$1-x_1=3(x_2-1)⟹x_1+3x_2=4$ ① 从向量同向及线段长度来看：$|AF|=3|FB|$， 由抛物线定义可得：$x_1+1=3(x_2+1)⟹x_1-3x_2=2$ ② 联立①②解得：$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{3}$。 则弦 $AB$ 的中点 $M$ 的横坐标为 $x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3+\frac{1}{3}}{2}=\frac{5}{3}$。 所以中点 $M$ 到准线 $x=-1$ 的距离为 $d=x_M-(-1)=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}$。 答案：$\frac{8}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦半径公式 $r=x+\frac{p}{2}$，线段中点坐标公式。

2. 核心方法：定义法（将焦点距离与准线距离等价替换）。

3. 避坑指南：注意向量 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$ 的方向。由于 $F$ 位于 $AB$ 内部，若写成坐标差形式，需细心保证减数与被减数顺序正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为圆锥曲线中典型的“焦点弦”性质考查题。

2. 结论推广：若过抛物线 $y^2=2px$ 焦点的弦 $AB$ 满足 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$，则中点到准线的距离恒为 $\frac{p(\lambda +1{)}^2}{4\lambda }$。本题中 $p=2,\lambda =3$，代入得 $\frac{2\times 16}{12}=\frac{8}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-19 解-抛物线焦点弦与向量
• 2011-湖南卷文-21 解-抛物线轨迹与向量最值
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线