2010-陕西卷理-19 解-古典概型

本题导读

本题考查统计与概率的综合应用，通过频数分布直方图读取男生、女生样本频数，结合分层抽样比例估计总体分布，并利用古典概型求解抽样概率。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 19. 为了了解学生身高情况，某校以 $10\%$ 的比例对全校 $700$ 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

(1) 估计该校男生的人数；

(2) 估计该校学生身高在 $170\sim 185\text{ cm}$ 之间的概率；

(3) 从样本中身高在 $165\sim 180\text{ cm}$ 之间的女生中任选 $2$ 人，求至少有 $1$ 人身高在 $170\sim 180\text{ cm}$ 之间的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：从男生频数直方图中把各个组距的频数相加，求出男生样本容量 $n_{\text{男}}$。因为抽样比例为 $10\%$，所以总体男生人数等于 $n_{\text{男}}÷10\%$。
2. 第 (2) 问：把男生和女生样本中身高在 $170\sim 185\text{ cm}$ 之间的所有频数相加，除以总样本容量 $N_{\text{总}}=700\times 10\%=70$ 人，即得到全校学生身高在此范围内的估计概率。
3. 第 (3) 问：从女生直方图中找出身高在 $165\sim 180\text{ cm}$ 之间的频数及对应细分区间（$165\sim 170\text{ cm}$有 $7$ 人，$170\sim 175\text{ cm}$有 $12$ 人，$175\sim 180\text{ cm}$有 $6$ 人）。确定总抽取人数及目标区间人数，利用对立事件概率公式求解。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 估计该校男生的人数

由男生频数分布直方图，将各组频数相加，得到男生样本容量： $n_{\text{男}}=2+5+14+13+4+2=40\text{（人）}$

因为抽样比例为 $10\%$，所以估计该校男生总人数为： $\frac{40}{10\%}=400\text{（人）}$

---

(2) 估计该校学生身高在 $170\sim 185\text{ cm}$ 之间的概率

全校抽取的样本总人数为： $N_{\text{总}}=700\times 10\%=70\text{（人）}$

在样本中，身高在 $170\sim 185\text{ cm}$ 之间的频数分别为：

• 男生（$170\sim 175,175\sim 180,180\sim 185$）：$14+13+4=31$ 人；
• 女生（$170\sim 175,175\sim 180,180\sim 185$）：$12+6+3=21$ 人。

样本中身高在 $170\sim 185\text{ cm}$ 之间的学生总数为： $31+21=52\text{（人）}$

所以估计该校学生身高在 $170\sim 185\text{ cm}$ 之间的概率为： $P=\frac{52}{70}=\frac{26}{35}$

---

(3) 求至少有 $1$ 人身高在 $170\sim 180\text{ cm}$ 之间的概率

由女生频数分布直方图，身高在 $165\sim 180\text{ cm}$ 之间的女生共有： $7+12+6=25\text{（人）}$

其中：

• 身高在 $165\sim 170\text{ cm}$ 的女生有 $7$ 人（记为集合 $M$）；
• 身高在 $170\sim 180\text{ cm}$ 的女生有 $12+6=18$ 人（记为集合 $N$）。

从这 $25$ 名女生中任选 $2$ 人，总的选法种数为 ${\mathrm{C}}_{25}^2$。

设事件 $A$ 为“至少有 $1$ 人身高在 $170\sim 180\text{ cm}$ 之间”，其对立事件 $\bar{A}$ 为“选出的 $2$ 人身高都在 $165\sim 170\text{ cm}$ 之间”（即 $2$ 人均选自集合 $M$）。

计算对立事件概率： $P(\bar{A})=\frac{{\mathrm{C}}_7^2}{{\mathrm{C}}_{25}^2}=\frac{\frac{7\times 6}{2\times 1}}{\frac{25\times 24}{2\times 1}}=\frac{21}{300}=\frac{7}{100}$

所以，至少有 $1$ 人身高在 $170\sim 180\text{ cm}$ 之间的概率为： $PA.=1-P(\bar{A})=1-\frac{7}{100}=\frac{93}{100}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频数直方图读取数据、总体估计与古典概型对立事件计算。
2. 核心方法：

• 各组频数相加求样本总数，比例还原总体；
• 利用“正难则反”的思想，通过对立事件 $PA.=1-P(\bar{A})$ 快速求至少问题。

3. 避坑指南：第 (2) 问切勿遗漏女生在该区间的人数，样本总容量为 $70$ 人。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：统计抽样与概率结合的标准压轴题，考查数据分析与运算能力。
2. 结论推广：从 $N$ 个元素（含 $M$ 个特殊元素）中任取 $k$ 个，至少含有 $1$ 个特殊元素的概率公式为 $P=1-\frac{{\mathrm{C}}_{N-M}^k}{{\mathrm{C}}_N^k}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-12 填-古典概型概率
• 2013-辽宁卷理-19 解-古典概型的概率计算
• 2014-天津卷理-16 解-古典概型及其概率计算公式